【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
各位晚安
今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
只是一直遲遲沒有動筆
「高中微積分和大學微積分有什麼差別?」
這個主題一定有其他老師寫過
但一樣地
我從來都不會因為別人做過了自己就不做
因為每個老師的歷練不同
所以講出來的就算有些地方是一樣的
但還是多多少少會有差異之處
1⃣
首先,絕對會被提到的
就是高中微積分只教多項式函數的微積分
也就是說
高中三年級數甲就算認真學完以後
還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
(以上是指普遍的應屆畢業生)
當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
所以我上面故意不提三角函數😅
所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
大學微積分就會躺著過的話
那可能就想的太美好了
因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
所以要補足所有基本函數的微積分
還是需要花時間努力一下
而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
想看的同學可以透過這個連結:https://reurl.cc/Kknmln
2⃣
上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
還有一個重點
那就是高中微積分並沒有分部積分
大學微積分中的積分技巧有很多種
變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
但其實多項式的積分也用不太到
所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
普遍都是逐項積分
因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
而關於各種積分技巧
剛好我們丈哥有整理
有興趣的話可以參考這部影片:https://reurl.cc/1xadXW
如果你是高三應屆畢業生
建議先看過所有基本函數的微分
然後了解微積分基本定理
再來看這個影片
不然可能會看得有些吃力
3⃣
高中教過許多關於基本函數的公式
對了,忘記說明什麼是基本函數
基本函數就是形如常數函數、多項式函數
指對數函數、三角函數、反三角函數
以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
對於這些基本函數的公式
到了大學,其實很多都用不到
當然現在因為教改的關係
用不到的公式已經越來越少了
但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢?
我這邊簡單條列幾個
例如:
x^n ± y^n 的因式分解公式
x = a^(log_a (x))
log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1)).(log_a (x_2))
log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
三角函數的和角公式
cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
以上這些都是在學習大學微積分時必備的
當然還有其他的
以後有機會在專門拍一部影片來統整
至於其他如同 sin(x/2) 的公式
或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
其實在大學微積分裡面都用不太到
所以大概都可以忘掉沒有關係
4⃣
提到函數的公式
就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
首先,高斯函數 [x]
這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
另外是反三角函數
這個在以前台灣的高中數學是有講的
(大概民國 100 年以前都有講)
但現在已經刪掉了
所以這對現在的台灣高中生來說
無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
(所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
當然可能還有一些函數
但我目前最有印象的就是這三個
5⃣
上面提到超越函數
那接下來講講一個特別的超越函數:指對數函數
在台灣的高中數學裡面
早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
但到了大學
大概會有一半的學校重來一次
在大學微積分裡面
會先透過極限定義 e 這個數字
然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
講到這邊,不得不強調一點
高中的 log(x) 是以 10 為底數
而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
所以在定義上的不同
這也是在初學大學微積分時一定要注意的
如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
可以參考這個影片:https://reurl.cc/g7jORL
6⃣
以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
和高中微積分不同之處
最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
那就是「極限的嚴格定義」
高中微積分在教極限的時候
通常只教直觀的極限
也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
但到了大學微積分
特別是理工學院的學生
就絕對逃不掉極限的嚴格定義
這邊列一下定義內容:
「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
噁心吧?
這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
而且會出現在第一次小考或期中考裡面
然後很多學生就送分了
送還給教授分數
雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
但如果大學微積分一開始就考差
那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢?
很多人都講反正十年後也用不到微積分
現在這麼努力幹嘛
其實我從來都沒有要所有人都要努力
我只要求想跟我學微積分的學生要努力
但說真的
就算十年以後用不到
但如果在學微積分時不努力
導致隔一年又要在重來一次
那不是把自己的人生拖延住了嗎?
學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
而是為了當下
為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
然後透過這一次又一次的證明
去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
如此而已
至於講未來會不會用到的那些人
我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
不然我也可以這樣想
反正我總有一天會死
我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
那我幹嘛拍?
有時做一件事情或是學習
真的只是為了解決當下的其他問題而已
不用為每一件事情都去思考他的未來
特別是在學生時期
既然到了這間學校這個科系
就好好學習,累積漂亮的 GPA
當然不只學業要顧
如果行有餘力,也應該找公司實習累積經驗
不過這都是在大三大四以後才要思考的事
在面對「極限的嚴格定義」的當下
我強烈建議學生就是一個想法
不要想太多
試著盡自己最大的努力,在進入下一個章節以前
能把這個學的多透澈就多透澈
當然也要考量目前手上所有科目的重量
不能顧此失彼
但就盡最大努力
顧好所有科目
以後如果有機會
我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
嗯... 我又離題了
總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
絕對是大學生涯第一次試煉
如果想趁著開學前先偷念一點的同學
可以反覆觀看這部影片:https://reurl.cc/oLonv5
///
好啦,講了這麼多
不知道認真看完的有幾個
但就如同我上面講的一樣
很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
這次大概就分享到這邊
如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
所以如果有認真看完的朋友們
覺得認同的話幫我按個讚或分享
覺得有話想對我說的話就在下面留言
有認真看完不知道要講什麼但想表示一下支持的
可以在下面留言「我有看完!」
其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
也佩服有在看我頻道的同學們
因為我的貼文大多都很長
影片也都是超硬核教學影片
感謝支持我們的人們
因為有這些支持
我們才能繼續走下去😀
▋歡迎用訂閱行動支持數學老師張旭 YT 頻道‼
▋連結:https://reurl.cc/KkL3Vy
▋張旭老師大一微積分先修線上直播課程開課了🔥
▋連結:https://reurl.cc/Njol7x
▋歡迎參加許願池活動,留下你想聽我們講解的主題!
▋最新連結請到置頂文章:https://reurl.cc/WdZQDx
▋贊助支持我們
▋歐付寶:https://reurl.cc/vD401k (台灣境內請用這個)
▋綠界:https://reurl.cc/3Dp7Ll (台灣境外用這個)
▋flyingV:https://reurl.cc/g7p48N (2020/7/17 結束)
同時也有3部Youtube影片,追蹤數超過73萬的網紅予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」,也在其Youtube影片中提到,本当は出したくなかったショートコントまとめを編集担当のやす君が勝手に作ってしましました・・・ 色々な知識を共有するサブチャンネル「ヨビノリたくみの自習室」をはじめました↓ https://www.youtube.com/channel/UC9hMno0XEMKLfmbfSUTUljg -----...
log換底公式 在 予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」 Youtube 的評價
本当は出したくなかったショートコントまとめを編集担当のやす君が勝手に作ってしましました・・・
色々な知識を共有するサブチャンネル「ヨビノリたくみの自習室」をはじめました↓
https://www.youtube.com/channel/UC9hMno0XEMKLfmbfSUTUljg
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
【線形代数の本編はこちら】
線形代数入門①(概観&ベクトル)
→https://youtu.be/svm8hlhF8PA
線形代数入門②(行列)
→https://youtu.be/ltFl0FpLTzQ
線形代数入門③(一次変換と演算の性質)
→https://youtu.be/X2Xy2wnQbXc
線形代数入門④(一次独立と一次従属)
→https://youtu.be/6lKtkf3SNyE
線形代数入門⑤(連立方程式:掃き出し法)
→https://youtu.be/Da73Ra7gWKU
線形代数入門⑥(連立方程式:不定と不能)
→https://youtu.be/SrGvI85h6Mk
線形代数入門⑦(連立方程式:階数)
→https://youtu.be/J_WpopdTjVU
線形代数入門⑧(行列式:定義と性質)
→https://youtu.be/_TGC3rnWxDc
線形代数入門⑨(行列式:余因子展開)
→https://youtu.be/VwZ0EtT_UiI
線形代数入門⑩(逆行列:定義)
→https://youtu.be/FbAKS6OY0k0
線形代数入門⑪(逆行列:掃き出し法)
→https://youtu.be/K9yZYDUHEVQ
線形代数入門⑫(固有値・固有ベクトル)
→https://youtu.be/_TgBFx0jwRQ
線形代数入門⑬(対角化:重解がない場合)
→https://youtu.be/FTC_aekgqCg
線形代数入門⑭(対角化:重解がある場合)
→https://youtu.be/HxkZgaY8uZg
【線形代数テスト対策動画一覧】
行列式の求め方
→https://youtu.be/b9LUUrXXYK0
連立一次方程式の解き方
→https://youtu.be/ESzPIqpwRxQ
逆行列の求め方
→https://youtu.be/1RPXXitSLDc
固有値・固有ベクトルの求め方
→https://youtu.be/zBvG9qreHjo
対角化演習
→https://youtu.be/t7lZwgyi6rg
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
【ヨビノリたくみの書籍一覧】
「難しい数式はまったくわかりませんが、微分積分を教えてください!」
https://amzn.to/33UvrRa
→一般向けの微分積分の入門書です
「難しい数式はまったくわかりませんが、相対性理論を教えてください!
https://amzn.to/33Uh9Ae
→中学の易しい数学しか使わない相対性理論の解説本です
「予備校のノリで学ぶ大学数学 ~ツマるポイントを徹底解説」
https://amzn.to/36cHj2N
→数学動画で人気の単元を書籍にしてまとめたものです
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」のチャンネルでは
①大学講座:大学レベルの理系科目
② 高校講座:受験レベルの理系科目
の授業動画をアップしており、他にも理系の高校生・大学生に向けた
様々な情報提供を行っています
【お仕事のご依頼】はHPのContactからお願いします
【コラボのご依頼】はHPのContactからお願いします
【講義リクエスト】は任意の動画のコメント欄にて!
【チャンネル登録】はこちらから(今後も楽しく授業を受けよう!) https://www.youtube.com/channel/UCqmWJJolqAgjIdLqK3zD1QQ?sub_confirmation=1
【公式HP】はこちらから(探している講義が見つけやすい!) http://yobinori.jp/
【Twitter】はこちらから(精力的に活動中!!)
たくみ(講師)→http://twitter.com/Yobinori
やす(編集)→https://twitter.com/yasu_yobinori
【Instagram】はこちらから(大喜利やってます)
たくみ(講師)→https://www.instagram.com/yobinori
やす(編集)→https://www.instagram.com/yobinoriyasu
【note】はこちらから(まじめな記事を書いてます)
たくみ(講師)→https://note.mu/yobinori
やす(編集)→https://note.mu/yasu_yobinori
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
【スペシャルスポンサーの方々】(敬称略)
このチャンネルはスポンサーの方々の支援により成り立っています
[3000円/月]
鈴木貫太郎/CASTDICE TV/holdwine/ごんちゃん/toshiro/F.Map!e/0990いきなりTOEIC【ワイルドなTOEIC講座】/starting/eddy_breakup/★memoたん★/琥珀@のベルズ/いたっち/日々めも/N. Chiba/19masaru/sakamotoki/lysmet/セブ島IT×英語留学の「Kredo」/nakanot /迫佑樹/げんげん/verdeviento/磯田重晴/データサイエンス VTuber アイシア=ソリッド/安部哲哉/カズレーザー(※5000円)/マサの高校化学/Kohei Arai/koshiba.jp /oldboystudy30(※3500円)/瀧千尋/oda_kyo/やすたろう(※4000円)/あんこきなこ/矢田朋之(※4000円)/世良英之/伊東謙介/鷺谷なるみ(※5000円)/神崎正哉/動画を販売するならFilmuy/さもはん/Y. Hirai/よっしー(※5000円)/N. Y./内山幸樹@hottolink/山崎 圭一郎
[1000円/月]
raxman/こめぎ/キハム/固体量子/クラウド塾生管理システムShaple/の(※2000円)/ふくつう/鏡達人/kogorou/おのつよし/okaji/ぴろしき/CavitationVortex/Takayuki/yuyuwalker/和久田修右/log-1/ksawaura/よこのいと/mitunoir/sshirai/吹田啓介/しゅが/KzF/たくのろじぃ/ぐっさん/りょーと/Jumpei Mitsui/myai/坂上 勇太/Harahara745/KBOYのエンジニアTV /まなか/hnokx/もりけんた from ひめじ/おかだりく/anohitoooo/てつはいく/pajipaji/シュン/もろ/び(..◜ᴗ◝..)び/くまぱわー/ろうき祭り/katz uz/まさひろ@情報処理安全確保支援士/博士/KenTag/おでこ/matpiano/クラフトビール(※1500円)/STUDY PLACE 翔智塾/Kazu615/重吉比呂/takataka/国立大学法人弘前大学-数学クラブ-/okinakosan/渡辺/HorigomeDaisuke/fumaiinga/太田税理士事務所(青森市)/hyzksnj/etrlud/haruomaru/jeanjune/yottan [DIVE INTO CODE]/sn3y.com/岡本プロデュース/田村剛/青山鍼灸院(代々木)/梵天ゆとり/小島隆正/Nobu
いつもご支援ありがとうございます。
ヨビノリのスポンサーをこちらで募集しています(500円から可)↓
https://camp-fire.jp/projects/view/130136
※上記リンクURLはAmazonアソシエイトのリンクを使用しています
log換底公式 在 映像授業 Try IT(トライイット) Youtube 的評價
■■■■■■■■■■■■■■■
【Try IT 視聴者必見】
★参加者満足度98.6%!無料の「中学生・高校生対象オンラインセミナー」受付中!
「いま取り組むべき受験勉強法」や「効率的に点数を上げるテスト勉強の仕方」、「モチベーションの上げ方」まで、超・実践的な学習法をあなたに徹底解説します!
今月・来月のセミナー内容や日程は、トライさん公式LINEからご確認いただけます。
↓↓友だち登録はこちらから↓↓
https://liny.link/r/1655096723-1GOJPwzq?lp=gcZxVv
■■■■■■■■■■■■■■■
この映像授業では「【高校 数学Ⅱ】 対数4 底の変換公式」が約18分で学べます。問題を解くポイントは「logaB=logcB / logcA」です。映像授業は【ポイント】⇒【例題】⇒【練習】⇒【まとめ】の順に見てください。
この授業以外でもわからない単元があれば、下記のURLをクリックしてください。
各単元の映像授業をまとまって視聴することができます。
■「数学Ⅱ」でわからないことがある人はこちら!
・数学Ⅱ 展開・因数分解と2項定理
https://goo.gl/TkUpx6
・数学Ⅱ 分数式の計算・求値問題
https://goo.gl/1WQ3Cn
・数学Ⅱ 整式の割り算・剰余の定理
https://goo.gl/hNyyv3
・数学Ⅱ 方程式と恒等式の証明問題
https://goo.gl/lE00Lh
・数学Ⅱ 複素数
https://goo.gl/u5Q9Bc
・数学Ⅱ 2次方程式の解の判別・解と係数の関係
https://goo.gl/XLqXE8
・数学Ⅱ 高次方程式
https://goo.gl/CjeKXz
・数学Ⅱ 直線上の点・平面上の点
https://goo.gl/PHjKlW
・数学Ⅱ 直線・2直線の平行垂直
https://goo.gl/NNp5b2
・数学Ⅱ 円と直線・2つの円の関係
https://goo.gl/mD09m1
・数学Ⅱ 軌跡と領域
https://goo.gl/wZgkYf
・数学Ⅱ 三角比と三角関数
https://goo.gl/HTDn4p
・数学Ⅱ sinθ・cosθの関係
https://goo.gl/DkpzIc
・数学Ⅱ sinθ・cosθ・tanθの方程式と一般角
https://goo.gl/3Z3Cjo
・数学Ⅱ 三角関数のグラフと加法定理
https://goo.gl/wdiA3h
・数学Ⅱ 三角関数の合成
https://goo.gl/rKgKNS
・数学Ⅱ 指数関数
https://goo.gl/b5csBE
・数学Ⅱ 対数関数
https://goo.gl/VUeIAO
・数学Ⅱ 極限と微分関数
https://goo.gl/iShz4L
・数学Ⅱ 微分法
https://goo.gl/iqGbx0
・数学Ⅱ 積分法
https://goo.gl/HhWVSg
■「数学B」でわからないことがある人はこちら!
・数学B 等差数列(一般項と和)
https://goo.gl/gtXAGw
・数学B 等比数列(一般項と和)
https://goo.gl/lS60F8
・数学B 等差・等比数列の応用
https://goo.gl/YQm99S
・数学B 数列・Σの計算
https://goo.gl/LxRn4p
・数学B 階差数列
https://goo.gl/k13tYA
・数学B 特殊な数列の和
https://goo.gl/DQfdcd
・数学B 漸化式と数学的帰納法
https://goo.gl/Uvs8rv
・数学B ベクトルの定義・成分
https://goo.gl/3OHnXF
・数学B ベクトルの内積・垂直条件
https://goo.gl/wR64EL
・数学B 分点公式と直線のベクトル方程式
https://goo.gl/wa4GJ8
・数学B 空間ベクトル
https://goo.gl/7oLJos
log換底公式 在 超わかる!授業動画 Youtube 的評價
センター試験(数学Ⅱ・B)【徹底解説!】(2017年)【三角関数】の関連動画
①対数の基本
https://youtu.be/utaL_PiUI9U
②内分点・外分点・重心
https://youtu.be/mvG6gOccJPc
③対数の性質
https://youtu.be/xoO8Azjr4xw
④対数方程式・対数不等式(1)
https://youtu.be/aqoN--WULIs
⑤対数方程式・対数不等式(2)
https://youtu.be/0nS77ryPVMk
⑥n乗根の性質(1)
https://youtu.be/pHLcWrqVA5E
⑦n乗根の性質(2)
https://youtu.be/ltbfth_hvvE
★再生リスト★
【指数関数・対数関数】
https://www.youtube.com/playlist?list=PLDaIUKhKMpbh0EvBxzfuIkhzCNjenQjO9
「チャンネル登録」はこちらからどうぞ!☆ http://www.youtube.com/channel/UCZUPMvvW1ggn4gbSY741LdA?sub_confirmation=1
「twitter」はこちらからどうぞ!☆ https://twitter.com/honda_math
※動画やチャンネルへ頂いた素敵なコメントは、動画の最後に紹介させて頂くことがございます!
「超わかる!高校数学」は、難関大合格に必須の重要問題だけを、「圧倒的に丁寧・コンパクト」に解説するYouTubeチャンネルです!個別指導塾で500人以上の生徒を授業した受験数学プロ講師の独創性、数学への情熱を最大限に生かした作品の世界は、あなたを夢中にさせるはず!チャンネル登録者から感動の声多数!東大・京大・医学部受験者も見ています!さぁ、今すぐ始めよう!
公式ホームページ : http://kouki-honda.jp/contents/
log換底公式 在 換底公式 的相關結果
換底公式 為{\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}} 試以對數律證明之? 詳解:設{\log _a}b\;{\rm{ = }}\;x \; \Rightarrow \;\;{a^x} = b. ... <看更多>
log換底公式 在 換底公式 的相關結果
換底公式. log a[b] = logc[b] / log c[a]. 可以由此推演出一大堆公式: (1) log a^m [b^n] 換底=> log b^n / log a^m= ( n log b ) / (m log a ) 換 ... ... <看更多>
log換底公式 在 換底公式 - 科學Online - 國立臺灣大學 的相關結果
除非a 是10,不然就得透過之前構思,將a 換成可以查表的10,也就是說a=10^s\Longleftrightarrow\log_{10}a=s,透過對數律運算和查表可以得到s 的值;而 ... ... <看更多>