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《疫苗接種知識：台灣大學》饅頭主播

此資料主要摘譯、整理自美國CDC、Uptodate、各大期刊網站、學會及專家資訊，主要針對COVID-19疫苗常見疑問、疫苗簡介、特殊族群及罕見的不良反應，進行面向家庭醫師/基層醫療人員的介紹，一般民眾可先參考COVID-19疫苗Q&A、美國CDC Q&A或美國CDC疫苗迷思。

值得注意的是，這份資料本來大多是基於有明確研究證據的脈絡來書寫，某些政策與醫療行為可能跟台灣狀況不盡相同。
感謝費城兒童醫院提供的FAQ與Addison Lin團隊翻譯的中文版本。
Fact sheet：NEJM Vaccine FAQ, Canada, Canada, Ontario, Toronto, HSE (Ireland)

Q：打疫苗可以預防COVID感染嗎?

A：接種第一劑疫苗21天後，仍有少數機會會罹患COVID-19，但可有效預防COVID-19重症，大幅減少住院機會及死亡。目前無足夠證據顯示，接種疫苗後若仍感染，是否可降低病毒排出或傳染給他人的機率；但接種至少一劑21天後，似乎可減少家庭內傳染，且以色列研究顯示接種第一劑BNT疫苗後可減少體內病毒量，英國研究也有相似的結果。因此接種完疫苗後，仍須遵守防疫新生活原則，勤洗手、佩戴口罩、保持社交距離。
Q：什麼樣的人建議暫緩施打或選擇適當疫苗?

慢性病控制不穩定、發燒或患有急性中重度疾病者且病情不穩時。
曾有血栓合併血小板低下症候群或肝素引起之血小板低下症，避免接種AZ疫苗。
對核磁共振顯影劑(gadolinium)、電腦斷層含碘顯影劑(Ultravist、Omnipaque、Opitray...)或以下藥物（Niflec、Depo-Medrol、Depo-Provera、Micera、Neulasta、Herceptin...）產生過敏反應，應告知醫師、或許可建議施打非Moderna疫苗。
其他暫緩或選擇疫苗可參考下方特殊族群。
Q：什麼樣的老人建議暫緩打疫苗?

A：老年人若感染，重症的比例較高，因此衡量利大於弊之下，都建議接種疫苗。挪威專家指出，在生活完全無法自理且輕微病症就難以康復、預期壽命很短(少於6個月)的老人接種疫苗應謹慎評估利弊，因為輕微的副作用可能造成嚴重後果。更多詳細資訊請見年長者。
Q：AZ疫苗的常見副作用有哪些?

A：第一劑接種後，主要副作用為注射部位疼痛(58%)、疲倦(52%)、肌肉痛(48%)與頭痛(37%)；發燒18-49歲約32.7%、50-64歲約13.8%、65歲以上約4.6%，並且不超過2天。第二劑接種後，主要副作用為注射部位疼痛(45%)、疲倦(25%)；發燒約佔3.0%。常見不良反應低於第一劑。其他副作用可參考下方。
Q：Moderna疫苗的常見副作用有哪些?

A：第一劑接種後，主要副作用為注射部位疼痛(18-49歲約81%、50-64歲約62%、65歲以上39%)、疲倦(35%)、肌肉痛(28%)、頭痛(18%)；發燒(3.1%)通常不超過2天。Moderna第二劑接種後，三日內常見不良反應高於第一劑，主要有注射部位疼痛(18-49歲約90%、50-64歲約77%、65歲以上57%)、發燒有35.6%，18-49歲接種後疲倦(>57%)、注射部位腫脹(>52%)、肌肉痛(>43%)、頭痛(>37%)、發冷(>22%)。這些症狀通常隨年齡層增加而減少，並於數天內消失。其他副作用可參考下方。

Q：打完疫苗後注射的手臂很痛，我該怎麼辦?

A：建議參考: 台灣運動醫學學會以及台灣復健醫學會(詳細圖文建議)
注射部位疼痛是常見的疫苗副作用。手臂請盡量放鬆並保持活動，避免僵硬。也可以輕微冰敷，等到消腫後(約1~2天)，改為間歇性溫敷。如果真的非常疼痛，合併發燒，紅腫範圍持續擴大，可以諮詢醫師。參考資料：CDC、EM、healthgrades。

Q：打完疫苗會讓我變成萬磁王嗎?會讓我的手臂可以吸附金屬嗎?

A：不會!! COVID疫苗成份沒有任何金屬或是磁力物質。美國CDC、臺灣事實查核中心。

Q：我打完疫苗之後發燒，要去看醫生嗎?可以預防性吃普拿疼嗎?

A1：接種後2天內發燒可先使用acetaminophen退燒, 其他藥物(如ibuprofen)請與醫師討論，未持續超過2天原則上無須採檢，於退燒24小時後可返回醫院或單位上班，但如為有較高暴露風險者或經評估有採檢需要者，仍應進行通報採檢。其他資訊請參考下方。
若接種2天後持續發燒，甚至出現新的呼吸道症狀、腹瀉、嗅味覺改變，建議請醫師評估。

A2：注射疫苗前不建議預防性使用普拿疼Acetaminophen或NSAID藥物，因為可能會影響免疫反應。(NEJM FAQ)

Q：是否可以使用抗組織胺(anti-histamine)預防嚴重的過敏性休克呢?

A：美國CDC不建議，因為抗組織胺藥不能預防過敏性休克(Anaphylaxis)，如果預防性使用可能會掩蓋皮膚症狀，導致延誤診斷和處理過敏反應。Moderna約百萬分之2.5~24、BNT約百萬分之11.1~13.63、AZ約為百萬分之16.83。其他資訊請參考施打站準備、過敏性休克。

Q：怎樣的人比較會發生疫苗誘發的血栓呢?
A：目前因全球發生個案數太少無明確的風險因子，且主要發生於AZ及J&J。一開始認為年輕人、女性較易產生血栓，但可能起因於早期施打疫苗群體主要也是年輕、女性為主而造成偏差，後來男性案例較多可能因女性施打減少。目前粗估血栓約為每十萬人中0.79至3.77人(跟一張統一發票中三獎、四獎的機率差不多)，而感染COVID住院中發現靜脈血栓約為3-20%。

Q：如果打完疫苗引發的血栓會有什麼症狀?
A：施打COVID-19疫苗後 4-28 天內，開始發生以下症狀之一
1. 嚴重持續性頭痛、視力改變或癲癇（任一皆為腦靜脈竇血栓之可能症狀）。
2. 嚴重且持續腹痛超過 24 小時以上（腹內靜脈血栓之可能症狀）。
3. 下肢腫脹或疼痛（深層靜脈血栓之症狀）。
4. 嚴重胸痛或呼吸困難（肺栓塞之可能症狀）。
5. 皮膚出現自發性出血點、瘀青、紫斑等。其他資訊可參考下方。

Q：什麼是疫苗保護力? 我打了保護力 95%的Moderna是不是代表只有5%機率會得病?
A：可以分成兩個部分：Efficacy(效力) 與 Effectiveness(有效性)。
Efficacy(效力)是Relative risk reduction(相對風險下降率)的概念。在臨床試驗中會把受試者隨機分成兩組，一組為安慰劑組，另一組為疫苗組，如果安慰劑組有80%得病，疫苗組有10%得病，那Efficacy就是 (80%-10%)/80%=87.5%，也就是疫苗組相對安慰劑組減少87.5%的感染機率。此外，臨床試驗設定的outcome也會影響疫苗效力的結果：有症狀感染、重症、死亡，各自所計算出的efficacy就會不同。所以打了保護力95%的Moderna疫苗代表跟沒打的人比起來可以減少95%的有症狀感染的機率。
Effectiveness(有效性)是在真實世界中，觀察有施打疫苗與沒施打疫苗的人染病的差距，與臨床試驗不同，真實世界中包含較多無法準確控制的因素(如：接種者的年紀、本身疾病/用藥、疫苗儲存溫度...)，但也較符合實際狀況，讓社會能整體評估這個疫苗的實用性。
CDC vaccine effectiveness study

Q：為什麼兩種疫苗的效力不能直接比較?
A：因為臨床試驗進行的時間與地點不一樣。Moderna和BNT在流行尚未大爆發的時候在美國國內進行研究，所以相對得病的比例可能較低。相反的J&J剛好在美國國內疫情大爆發的時候做研究而且有包含其他國家受試者(南非、巴西)，可能有較高比例的變種株(傳播力較強，致病力較高)。因此，如果要直接比較兩種疫苗，必須在相同臨床試驗，相同地點、時間、相同收案/排除條件，才有比較上的意義與價值。
Vox:Why you can't compare Covid-19 vaccines

Q：兩劑型的疫苗是否可以只打一劑就好?
A：目前仍建議完整接種兩劑。此處不討論公衛政策與國家施打涵蓋率。目前尚無足夠證據說明只打一劑疫苗有多少的保護力，但目前研究(大型前瞻性研究、小型研究)指出，施打一劑疫苗後，觀察28天後可達到臨床上8成以上的效力。但也有研究指出BNT疫苗若只打一劑恐怕無法對英國和南非變種病毒產生足夠保護力，且施打兩劑後抗體表現也較痊癒者高。

Q：是否可第一劑打AZ, 第二劑打Moderna (Mixing and Matching)?
A1：台灣CDC目前不建議，因為尚無足夠安全性與疫苗效力證據。但若已如此施打，也不需補打。如接種疫苗後出現症狀經醫師評估懷疑與疫苗施打有關，且通報疫苗不良事件通報系統(VAERS)者，建議依原第一劑疫苗廠牌之接種間隔、以不同技術產製的疫苗完成接種。
A2：根據臨床試驗(RH Shaw, CombiVacS, D Hillus, Hannover, Saarland)及專家建議，加拿大NACI於2021/06/01更新疫苗mixing-matching建議，考量有疫苗不足、VITT風險、增加短期免疫反應，可於第一劑AZ/COVISHIELD疫苗後間隔8~12週施打mRNA疫苗(BNT/Moderna)，但是會增加輕度到中度的不良反應；若第一劑接種mRNA疫苗則可混打他種mRNA疫苗，但是第二劑不建議改為AZ/COVISHIELD疫苗`。後續Com-COV研究針對AZ/BNT混打也有類似的結果，混打可增加抗體表現，且似乎並無相關嚴重不良反應。瑞典針對AZ/Moderna混打也有增加抗體表現、副作用較多的情形(但無統計學上差異)，似乎對南非變種有較好的保護力。

* 歐洲似乎相對較接受混打的策略，甚至認為可以減少對vaccine virus vector本身產生的immunity,也可能對不同病毒株有更好的保護力。參考：歐盟執行委員會

Q：COVID疫苗對變異株的保護力為何?
A：英格蘭公共衛生署公佈針對Delta變異株的資料顯示(6/21/2021)：施打第一及第二劑後，減少住院的有效性：輝瑞BNT：第一劑：94%, 第二劑：96%。AZ：第一劑：71%, 第二劑：92%。輝瑞和AZ疫苗皆具有高度保護力。能夠避免感染Delta變異株，轉而住院重症的防護率超過九成。根據英國數據顯示，40多歲以下的人，佔Delta變異株病例數的75%。60 多歲的人中，已有90% 的人接種疫苗，僅佔病例數的4%。從數據仍可見疫苗正發揮強大的作用。
完成兩劑AZ疫苗注射，對Delta/Alpha variant的效力可達92%/86% (2021/6/16)
完成兩劑mRNA疫苗注射，對Beta/Alpha variant的有效性可達77%/86%(2021/07/13)
變異株與疫苗政策：NEJM 2021/6/23 SARS-CoV-2 Variants and Vaccines

Q：接種mRNA疫苗會改變我的DNA?
A：否。COVID-19 mRNA疫苗不會以任何方式改變您的DNA或與您的DNA產生交互作用。mRNA疫苗作用機轉是教導人體細胞自行產出SARS-CoV-2病毒蛋白質片段（疫苗抗原），進而誘發體內產生免疫反應。疫苗中的mRNA永遠不會進入細胞核（人體DNA存在的地方）。

Q：腺病毒載體疫苗AZ會鑲入人體的DNA、誘發癌症?
A：非複製型腺病毒載體疫苗是利用修飾後的腺病毒做為載體，病毒的DNA嵌入可表現SARS-CoV-2病毒棘蛋白的基因，此腺病毒不具人體內複製力、亦無人體致病性。接種後進入人體宿主細胞內表達疫苗抗原（SARS-CoV-2棘蛋白），進而誘導宿主對該疫苗抗原蛋白產生免疫反應。由病毒載體所攜帶的基因片段並不會嵌入人體的DNA。 (台灣CDC疫苗原理)
目前也沒有證據顯示病毒棘蛋白有任何細胞毒性。(POLITIFACT)

Q：我有在吃抗凝血劑(anticoagulant)是否可以打疫苗?
A：可以!! 吃抗凝血劑並非施打疫苗的禁忌症。台灣腦中風學會
若您服用的是單線 / 雙線抗血小板藥物，施打疫苗前不需要停藥或調整劑量，但施打後建議加壓施打處2 / 5~10分鐘以上，並確認是否止血或有血腫狀況。
若您服用的是wafarin，在施打疫苗前請確認您回診的凝血功能檢查(INR)，若皆穩定且小於3，可直接進行疫苗注射，若您最近的INR不穩定或大於3，則建議回診與您的醫師討論。若預定施打疫苗時間與服藥時間非常接近，可考慮暫緩服藥，施打完成確認無血腫之後再服用當天藥物。施打完成後加壓施打處5~10分鐘。若您服用的是新型抗凝血劑(NOAC)， 施打疫苗前不需要做凝血功能檢查。若預定施打疫苗時間與服藥時間非常接近，可考慮暫緩服藥，施打完成確認無血腫之後再服用當天藥物。施打完成後加壓施打處5~10分鐘。
2021 EHRA NOAC guide(p.10) 吃新型抗凝血劑(NOAC)病人，一天一次(QD)的藥可以延遲到注射完疫苗之後3小時再服用，一天兩次的藥(BID)可以跳過打疫苗前的那次服藥。

Q：我有在吃賀爾蒙/避孕藥，可以打疫苗嗎? 要停藥多久?
A：不用停藥可以直接打!! 台灣CDC曾建議要停藥28天再打，但已經在5/21修正建議可以直接打!! 吃避孕藥，血栓的風險，大約2000人會有一個（十萬人有50個）打AZ 疫苗，血栓的風險，大約是十萬個有一個。吃避孕藥比打AZ疫苗有高50倍的風險產生血栓。兩種血栓發生的機轉是不一樣的。荷爾蒙是讓凝血因子多了，血液太黏稠，所以產生血栓，發生的位置，大多在深部靜脈。AZ 疫苗發生的血栓，比較像某種自體免疫的疾病，血小板是少的，大多發生在腦膜上的靜脈。(資料來源：雙和醫院副院長賴鴻政教授)

Q：我在吃類固醇(glucocorticoid)若想打疫苗是否需要停藥?
A：若您服用的類固醇劑量<20mg/day prednisolone，基本上劑量不需要調整，也不需要停藥。若劑量>20mg/day，建議要等到減低(taper)劑量到<20mg/day再施打疫苗(BC)，並建議與您的風濕免疫科醫師討論。若是可延緩的注射型的類固醇，可考慮接受疫苗後14天再注射類固醇，以達到最好的效果。(ARMA)

Q：我有在吃抗病毒藥物可以打疫苗嗎?
A：可以!! 目前沒有證據顯示抗病毒藥物會影響疫苗注射後的免疫反應。

Q：我對某些食物/藥物過敏，可不可以打疫苗?
A：基本上可以施打，除非是對前一劑施打的COVID疫苗或已知的疫苗內容物產生過敏反應，但若您有任何疑慮或過敏性休克病史，建議與醫師討論諮詢。若最後決定接受疫苗注射，建議注射後確實觀察30分鐘。若曾經對核磁共振顯影劑、電腦斷層顯影劑或以下藥物(Niflec、Depo-Medrol、Depo-Provera、Micera、Neulasta、Herceptin...)產生過敏反應，應告知醫師，或許可建議施打非Moderna疫苗。(詳細資訊請見下文)

Q：我曾對流感疫苗有過敏反應，可不可以打COVID疫苗?
A：可以，目前尚未有證據顯示兩者之間有相關性。

Q：我在抽菸/戒菸可以打疫苗嗎?
A：強烈建議施打疫苗!!! 也強烈建議您放下手中的菸!!! 趁著這次疫情一鼓作氣把菸戒了!!加油!! 吸菸是COVID重症風險之一，吸菸產生的氣溶膠，也可能擴大病毒傳播範圍(電子菸也是同樣現象)。使用戒菸藥物不須停藥(包含戒必適、尼古丁替代療法)。

Q：我剛打完HPV/HBV/MMR…疫苗，要隔多久可以打COVID疫苗?
A：儘管沒有COVID-19疫苗與其他疫苗一起施打的安全性與有效性資料，美國CDC目前建議COVID-19疫苗可與其他疫苗間隔任何時間甚至同時施打。美國ACIP過去曾建議在施打COVID-19疫苗後的14天內不宜施打其他疫苗，但此建議已經被修正，因為可能造成疫苗施打的延後。目前不確定同時施打會不會造成更頻繁或更強的局部或全身副作用。
*英國建議帶狀皰疹的活性減毒疫苗間隔7天，避免COVID疫苗造成的發炎去減少對活性疫苗的免疫反應。green book
台灣疾管署2021/06/13修改建議：接種COVID-19疫苗，應與其他疫苗間隔至少 14 天。如小於上述間隔，各該疫苗無需再補種。

Q：打肺炎鏈球菌疫苗是否可以減少COVID感染?
A：目前沒有直接證據可預防新冠肺炎，但根據研究指出，年紀大於65歲施打肺炎鏈球菌13價疫苗(PCV13)能減少COVID確診、住院及死亡率，而23價疫苗(PPV23)則無統計學意義，但另一篇針對PPV23則有預防確診及死亡率的效果；而針對特殊族群也有統計意義上的負相關，另一篇及病例對照研究顯示施打PCV13可能減少確診率；但也有研究指出，大於65歲施打肺鏈疫苗跟住院率、死亡率並無差異。因此，減少COVID-19感染是否是因為施打肺炎鏈球菌疫苗的族群大多為較高收入、較注意健康者或有其他族群特性，而非直接或間接保護，是值得考慮的事。對於公共衛生而言，在無法立即接種COVID疫苗的情形下，或許可先施打肺鏈疫苗提升針對肺炎鏈球菌的保護力，進而降低因細菌型肺炎的住院及死亡率。

Q：是否可在疫苗注射期間做結核桿菌相關檢驗(TST或IGRA)?
A：臺灣CDC建議先完成檢驗(IGRA或TST)再接種疫苗；IGRA抽血完成後可同日或異日接種疫苗；惟TST檢驗須完成判讀後再接種疫苗，以避免疫苗接種後影響TST判讀結果。
美國CDC：目前沒有證據顯示TST或IGRA會影響COVID mRNA疫苗的效力。根據ACIP，非活化(inactive)疫苗並不會影響結核桿菌相關檢驗，而活性減毒疫苗(如:MMR)可能會降低TST的反應造成偽陰性的結果。 COVID mRNA疫苗並非活性減毒疫苗，但目前也不清楚在其接種後的最初4週是否會影響TST/IGRA檢驗結果，因此針對一般無症狀(入住機構等...行政需求)民眾建議在注射疫苗前、當天或注射後4週再接受結核桿菌相關檢驗；其他有症狀或有高風險結核桿菌暴露人員建議與醫療團隊諮商討論。

Q：打完COVID疫苗要隔多久可以捐血?
A：AZ要間隔14天; Pfizer, Moderna不須間隔!! (捐血中心)

Q：我是孕婦/哺乳中可以打疫苗嗎?
A：建議接種!! 雖然目前安全性證據有限，但孕婦也屬於重症高風險族群，權衡感染與安全，還是建議接種。優先選擇mRNA疫苗，但如果第一劑已施打AZ, 第二劑還是建議施打AZ。此外，哺乳中也可以施打疫苗，抗體也會出現在母乳中，可能對新生兒有保護效果。
(其他詳細資訊見內文)

Q：我有高血壓/糖尿病/腎臟病(洗腎)/中風/心臟疾病/肺部疾病/氣喘/肝臟疾病/神經疾病/免疫不全疾病/肥胖/吸菸/貧血等，可以打疫苗嗎?
A：強烈建議!! 有以上疾病皆建議接種疫苗！男性、年紀超過65歲、住在安養或長照機構及有以上疾病且未控制，可能為COVID感染後重症的高危險群！且接種疫苗後能有效降低住院及重症的情形，因此強烈建議施打疫苗！
注射疫苗前不須停用胰島素、血糖藥、血壓藥、膽固醇用藥，請繼續規律服藥。
對於突發心律失常死亡綜合症的病患(包含LQTS, Brugada syndrome, CPVT等)，目前並無相關研究指出不適合哪種疫苗，建議施打前可諮詢心臟專科醫師，過敏性休克時一樣可施打epinephrine；另外，布魯蓋達氏症候群(Brugada syndrome)的患者接種後若發燒則盡早退燒，避免發燒誘發致死性心律不整。
補充：洗腎病人建議施打，近日有新聞指出有洗腎患者在打完AZ疫苗之後過世，讓不少腎友對疫苗卻步。根據2019年台灣腎病年報，2017年這一整年總共的透析患者死亡人數為9753 人，所以平均一天會有 26.7 位透析腎友過世。​這些死亡的病人，絕大部分都有糖尿病、高血壓或心血管疾病的共病。「在這樣的背景值之下，必須去釐清打疫苗跟死亡的原因是不是有直接的相關：還是這個事件，只是剛好是背景值的呈現！」​

Q：中風後多久才可以打疫苗?
A：據台灣腦中風學會，腦中風並非施打新冠肺炎疫苗之禁忌症。但由於腦中風病人，在剛發作之急性期，可能會出現中風症狀惡化、再次中風、心臟血管事件、感染等相關併發症，因此建議在中風急性期（大約1~2週）過後，經醫師評估整體身體狀況已穩定，再施打疫苗。

Q：有腦血管栓塞的病史，可以打疫苗嗎?
A：可以，但若腦血管栓塞是屬於腦部靜脈栓塞或與特殊免疫或血液疾病相關，則建議與醫師討論後決定。施打新冠肺炎疫苗後產生之罕見血栓併發症，目前的研究認為上是體內免疫反應產生特殊抗體(如anti-platelet factor 4 抗體)而引起血栓，與多數腦中風栓塞的血管病變或心律不整產生血栓的機轉不同。此外，疫苗可降低感染新冠肺炎本身引起之血栓風險，並減少重症比例及死亡率，因此有腦血管栓塞病史的病人仍可接種新冠肺炎疫苗。(台灣腦中風學會)

Q：有血栓相關疾病病史(thromboembolic disease)可否施打COVID疫苗?
A：大部分人建議施打!! 疫苗相關的血栓機轉較類似於Heparin-induced thrombocytopenia，目前尚無證據顯示一般靜脈血栓病史(無合併血小板低下)或thrombophilic disorder有較高機率產生此不良反應，但如果過去曾發生血栓合併血小板低下症候群，或肝素引起之血小板低下症者，應避免接種AZ疫苗。

Q：我有巴金森氏症，可不可以打疫苗? 兩天前我接種了COVID-19疫苗，我的顫抖更嚴重，跟疫苗有關嗎？
A：據台灣巴金森之友協會，建議病友施打疫苗，並接種在較不便的手臂(減少健側因痠痛而造成不便)！目前沒有證據顯示疫苗會如何影響巴金森症狀的大量數據。對於部分病友來說，巴金森症狀在短期內會變得更糟，但接下來的幾天內預期能夠恢復到以前的基準。

Q：我有癲癇，可不可以打疫苗? 新冠肺炎疫苗會讓我癲癇發作增加嗎? 疫苗會不會影響到癲癇藥物濃度?
A：可以!! 注射疫苗後可能會發燒，若您的癲癇容易在發燒時發作建議與醫師討論，並可於注射疫苗後服用退燒藥。依藥物動力學及臨床經驗，疫苗與抗癲癇藥沒有明顯交互作用，目前沒有證據顯示會影響藥物濃度。(資料來源：台灣癲癇醫學會)

Q：我有蠶豆症，可不可以打疫苗?
A：可以!!目前並無證據顯示哪種疫苗較好，蠶豆症患者應施打當地所能提供的疫苗為主。

Q：風濕疾病患者是否能注射新冠肺炎疫苗（COVID-19 vaccine）？
A：基本上可以!! 領有重大傷病之病友，位列公費疫苗施打對象之第九順位。
參考資料：TCR COVID20210625 民眾版 (其他資訊見下方)

Q：我有後天免疫缺乏症候群(people with HIV)，可以打疫苗嗎?
A：目前尚未有完整研究，但聯合國愛滋病規劃署建議可考慮施打疫苗。也有研究指出部分族群，注射AZ疫苗後似乎可產生與對照組無異的抗體濃度。(其他資訊見下方)

Q：我擔心/曾有帶狀皰疹(Herpes Zoster)，可以打疫苗嗎?
A：如果目前正在治療帶狀皰疹，建議暫緩施打直到治療完成。目前觀察、文獻回顧指出，COVID感染1~2周後可能會出現帶狀皰疹。另外個案研究也指出，mRNA疫苗、不活化疫苗施打後，似乎會誘發帶狀泡疹，特別是自體免疫患者、免疫功能低下患者，但帶狀皰疹是有疫苗可注射且可治療，因此仍建議施打，接種後需注意！
*台灣CDC建議COVID疫苗與所有疫苗間隔14天。美國CDC認為COVID疫苗與任何疫苗不需要間隔。英國建議帶狀皰疹的活性減毒疫苗與COVID疫苗間隔7天，避免COVID疫苗造成的發炎去減少對活性疫苗的免疫反應。green book

Q：我擔心/曾有格林─巴利症候群(Guillain-Balre´ Syndrome)、貝爾氏麻痹症(Bell's palsy)，可以打疫苗嗎?
A：可以!! 目前沒有明確證據顯示，疫苗會誘發GBS、Bell’s palsy或使這些病症復發，反而是感染COVID後可能會誘發！也因此台灣及美國CDC都未將這些病症列為接種疫苗的禁忌症，但施打後仍須注意！

https://docs.google.com/document/d/e/2PACX-1vRonbj6D3bX0UU1mTTjQO8u5iynhDUg-8d0Rf8qnKcNCS5o3sirFqF6fSh6Jc5YKYyNFNi9jRhpw3VD/pub

《文茜的世界周報》
【"眼見不能為憑"!原本的電影特效，運用人工智能轉換臉孔聲音，如今"深偽技術"入侵你我日常，透過AI將嘴部變化與既有語音同步，任何人說話都能被造假，美外交期刊: 深偽影片敲響情報戰新時代第一響警鐘，深偽影片加劇假新聞威脅，也可能左右全球各國選舉，目前科學家致力於開發鑑定技術減少傷害，但深偽技術正在「武器化」，成為周遭的不定時炸彈。】

{內文}
(影片旁白)
我們正在進入一個時代，在這個時代，我們的敵人可以讓任何人，在任何時候講出任何話，當公眾人物被記錄下來的，並非他們說過或做過的事，那麼我們就將進入一個「眼見不能為憑」的時代

這是一個你在現實世界不曾想像過的狀態，當代人工智能的進步，正足以讓人們的臉孔聲音徹底轉換，而這個被稱為「深度偽造」的技術，正鋪天蓋地入侵你我日常。

(歐巴馬/美國前總統/深偽影片)
川普總統是個徹頭徹尾的混蛋，你現在看我，我本該永遠不會把這些話說出口，至少不會在公開演說中講，但別人可能會像是(演員)Jordan Peele這樣的人

2018年4月BuzzFeed網站，率先把前總統歐巴馬向假新聞宣戰的影片加以變造，被視為「把話塞進別人嘴巴裡」的開山始祖，只要用AI大數據將歐巴馬的嘴部變化，與既有語音同步，看起來就像是這些話真的出自歐巴馬之口。

(歐巴馬/美國前總統/深偽影片)
展望未來，我們需要對互聯網的信任 保持警惕

從影片下端留言不難得知，確實有人發覺了異樣，但科技進步正所謂一日千里，最重要的是，人工智能與機器學習技術，早已不再是政府項目或者大公司的專利，即便是小國家或非政府組織者，都可以輕易藉由當前開放的資訊，科技商業化的環境 發展人工智能，只要有足夠的圖像 細節 訓練算法的大型資料庫，任何人都可以輕鬆進行「深度偽造」。

(Jeremy Kahn/彭博社科技記者)
事實上要製作這些影片非常容易，在過去幾個星期裡，學術研究人員甚至在特殊類型的機器學習中取得了一些突破，這將大量減少實際製作所需要的影片量

其實，好萊塢電影早在多年前，便率先開發使用這項技術，發明者Collin Frend說，這是伴隨人工智能技術演進的結果，最初是因應電影情節需要。

(Collin Frend/深偽技術創造者)
我們透過一遍又一遍觀察成千上萬的圖像，來學習重建那個人的臉，就像你想像的 ，更多研究會製做出一個愚蠢的影片或類似的東西

(深偽影片)
這對我來說真的很令人驚訝 是的 我真的很驚訝
(Collin Frend/深偽技術創造者)
除了透過人工智能技術的機器學習端之外，我並沒有在製作影片上動任何手腳

但過去，要製作如此逼真的影像電影，需要多年培訓至少數百人，及上百萬美元資金投入，相較於目前面部貼圖與人工智能技術的大幅精進，打造深偽影片已經變得易如反掌，甚至不需要具備任何專業背景，一個簡單的App就能搞定。

(Hany Farid/電腦科學專家)
你甚至不必知道GitHub(分散式版本的控制系統)是什麼，不必知道如何使用Python簡化流程，這一切都不重要，你的客戶只需要20塊美元，他們就能創造你的命運，這有點兒改變遊戲規則

近期一段美眾院民主黨籍議長裴洛西談話的深偽影片在IG上面瘋傳，被對手川普總統拿來攻擊譏笑說她口齒不清，不少人批評臉書放任假新聞流傳，臉書卻聲明表示，就算影片主角是自家老闆也會比照辦理，遭人以相同手法回擊。

(臉書創辦人/查克柏格深偽影片)
惡靈告訴我 凡能控制數據的人 就能操縱未來

越來越多人擔心，深偽影片可能正加劇當前虛假訊息及行動帶來的混亂，一段或一連串精心策劃的深偽影片，極可能左右一場選舉結果，在一座城市掀起暴動，或擴大社會中的政治分歧。

(Jeremy Kahn/彭博社科技記者)
你知道，這是一種潛在刺激腎上腺素的假新聞，我們不知道是否有人試圖利用這種情況進行某種詐欺或信息戰，或者就此而言，真正損害某人的聲譽，但這種危險，每個人都真的很害怕

美國《外交》期刊(Foreign Affairs)近期一篇報導稱，深偽影片正敲響了情報戰新時代的第一聲警鐘，除非能確知哪些信息可信 哪些不可信，否則信息量多並不能確保得出正確結果，越是追求速度與聳動性的消息，出錯的風險也就更高。

(Hany Farid/電腦科學專家)
最可怕的噩夢就是，有一段川普的影片，他說「我向北韓發射了核彈」，而且有人破解了他的推特帳號，在網路上瘋傳 30秒後，全球都被核武摧毀，這事情會發生嗎?我覺得機率不大，但也不是完全沒有可能，一想到這絕非不可能，真的會讓你嚇出一身冷汗

美國外交關係協會在一次討論中更坦言，要弄清楚北韓和伊朗的導彈或核武數量容易，難是難在如何全盤掌握中國，近期在人工智能或量子計算方面的發展究竟到了哪裡?更不要說美國情報界迄今仍未搞清楚，俄羅斯究竟是如何利用社交媒體，大規模干預2016年美國總統大選，接下來要如何面對2020的挑戰。

(Hany Farid/電腦科學專家)
目前我們正致力於開發鑑定技術，以保護世界領袖免於受到深偽技術的傷害，尤其擔心有人利用川普 梅伊 梅克爾這些世界領袖的外貌，透過創造虛假聯繫，來破壞選舉，並煽動潛在的暴力與國家

畢竟人工智能已打破了，過去美國在情報戰中的一切競爭優勢，讓越來越多訊息容易變造且難以察覺真偽，深偽技術正在「武器化」，即便科學家們蒐集數百小時的個人視頻，企圖替主要候選人建立模型，仍無法保證能對抗得了，一個打破階級財富的新科技戰正在醞釀，「深偽視頻」正在你我身邊，埋下一顆顆不定時炸彈。

https://www.youtube.com/watch?v=fSW3KEU93N4

新的活動BOSS現身啦~
有少主其實是喜歡BOSS的嗎?
如果可以領養天狗也是不錯的啦🦴
你最喜歡的BOSS有哪些呢？
請少主粉想表情讓我知道哦😆

【鼓鳴天淵】迎戰活動首領，贏取活動獎勵
活動時間：4月2日05:00至4月15日23:59
活動說明：每日挑戰纏絲鼓靈的最高戰績將會作為當天戰績，每日戰績總和相加為活動戰績，達到指定戰績可領取專屬徽章「迷音散」。三隻盤瓠化身在每天凌晨5點將會依次更換，協助少主一同對抗纏絲鼓靈！

<戰績獎勵>：當活動戰績達到規定的要求時，即可手動領取戰績獎勵；
<排名獎勵>：活動結束後將按照總戰績排名，通過郵件發放排名獎勵；
<挑戰獎勵>：每天首次挑戰並且產生戰績時，可以手動領取挑戰獎勵。

溫馨提示：本次活動只有對「活動首領」造成傷害才會計算戰績，其他傷害不納入戰績計算。挑戰首領無需消耗任何物資，少主可盡全力進攻。

【心願召喚】常駐御品食魂自選召喚陣
活動時間：4月2日05:00至4月8日23:59
活動說明：本次心願召喚陣限時開啟，期間少主可在召喚前選擇任意一位常駐御品食魂及珍品食魂，所選常駐御品食魂占御品食魂總機率的50%，所選常駐珍品食魂占珍品食魂總機率的25%。

溫馨提示：心願召喚陣中，各品級食魂基礎召喚機率與常駐召喚陣保持一致。

【禮包上架】累登禮包上架商城
活動時間：4月2日05:00至4月15日23:59
活動說明：活動期間，商店限時上架累登禮包。

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Title:
賭博無數計？定係唔識計？
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Sub-title:
為何賭仔需要運氣，但大莊家永無倒霉？
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Script:
有兩種賭客，會否定數學提升賭博利潤的功能：

第一種人，認為賭局隨機，數學無法預測，計數只是計死數，故弄玄虛；

第二種人，甚至進一步認為賭博是邪門偏門，講運氣，超出科學的研究範圍。

有數學家批評這兩種人想法膚淺，缺乏數學觸覺，對於這一點，我並不同意。

樂觀地看：第一種人看得出賭博隨機的性質，第二種人看得出賭博可以受控制的性質，而這兩種性質正是賭博數學入門的基石。所以，當這兩種人有朝一日開竅了，便有能力理解賭博數學，繼而於賭局減少虧損，甚至穩定掏利。他們之所以不相信數學的賺錢功能，只是因為看漏了以下一點而已：

「隨機的遊戲，長期會變成定然的事實。」

舉例說，歐式輪盤有0至36共37個號碼，因此開出0的機率是 ，亦即2.70%。雖然下一局攪出的號碼是隨機，但長期來說，總共會有非常接近、甚至恰好有2.70%的賭局，會開出0這個號碼。

現以Microsoft Excel做一個電腦實驗……

這就是大數法則（Law of Large Number）。

再以擲毫為例，從另一個觀點切入解說：假設你認為手上的一枚硬幣沒有被動手腳。當你不斷隨意擲這枚硬幣時，你發現有超過99%的局數，均是擲到正面朝天。這個時候，一般人都會開始懷疑這枚硬幣有沒有被人動手腳。由此可見，其實一般人於骨子裏都已經有這個sense——對於一枚「正常」的硬幣，長遠來說，擲出正面和反面的次數，應該是不相伯仲才對的，否則你也不會認為硬幣沒有被動手腳。因此，其實誰人心裏都明白：隨機的遊戲，長期都會有一定的確定性。
 
明白大數法則，就會明白賭博何以能夠成為事業——因為，長遠來說，賭局賽果的的確確是一件確定的事情！就好像購入每本$10的二手書，再以每本$50出售，確確實實地賺取$40，獲得穩定收入。

這也是莊家必勝、賭場不朽的原因——長遠來說，每一張賭枱都確確實實地賺取固定的盈利率。以輪盤（Roulette）為例，明明有37個號碼，賠率卻只有1賠35，根據大數法則，長遠來說，賭枱有2.70%的賭局開出0號，即是有2.70%的賭局賠35注，而有97.3%的賭局殺1注。

莊家賺：
莊家蝕：
因此，長遠來說，莊家穩定地淨賺：

現回到電腦實驗覆核這個數字……

莊家贏錢，另一邊廂，也就代表賭客輸錢了。賭客長賭的話，便會淨蝕2.8%。這個數字又稱作「EV」。

莊家的
賭客的

明白大數法則，便可解答標題的問題——為何賭仔需要運氣，但大莊家永無倒霉？

因為賭局規則本來就有利莊家，只要時間夠長（賭客多、局數多）便可以鎖定盈利率；相反，賭客面對不利規則，就如賽跑後十米起步、踢足球打少個、格鬥讓雙拳，求勝自然需要運氣，方可求短期內有所突破。

回應文章開首提到的第一種人：賭局的確是隨機，數學的確無法預測下一局開什麼，但並不代表數學無用，因為數學計算的並非任何一局之賽果，而是長期盈虧。

賭場把注意力放於賭局的長期盈虧（EV），而一般賭客卻把重心放於眼前的短期賺蝕。諷刺的是，不擅計算的賭客只顧短期利益，卻會長期賭博，最終落入賭場的計算範圍以內。隨機遊戲，卻得到確然的下場。
 
至於文章開首的第二種人，則無法一概而論。科學無法確立邪門之說，也無法否定之。大數法則能夠提供的忠告是：要是偏門之說真的能夠提升賭客的贏面、令賭客的EV由負變正的話，根據大數定律，該偏門方法應該會使你「長期」輸少贏多，只有長期如此，該方法才值得採用，否則難逃誤信僥倖之說。

由此，不論是第一種人，抑或第二種人，想跨過賭博數學的門檻，便要由「奢望預知下一局賽果」改為「爭取長期穩定收入」，思考如何提升賭局「EV」，使其由負數變成正數，仿如你與賭場交換角色，乘著大數法則賺取長期穩定利潤。
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
Ａ ── 會考 Math 數學
Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學
Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學
Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
Ａ ── IAL Core Math 1 2
Ａ ── IAL Core Math 3 4
Ａ ── IAL Further Pure Math 1
Ａ ── IAL Mechanics 2
Ａ ── IAL Mechanics 3
Ａ ── IAL Statistics 1
Ａ ── IAL Statistics 2
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《賭Sir數學戒賭》糸列
https://www.youtube.com/watch?v=dhL-dRcIN5I&index=1&list=PL_CM4U5au2k1cfK2zSph8XOLqIjOPQmvo

Excel高階函數應用專題班上課(SUMPRODUCT函數與自訂函數&SUMIF函數&保護與破解工作表&COUNT相關函數&樂透彩中獎機率統計&黑名單篩選&名稱&資料驗證&VLOOKUP查詢與ROW函數參照&INDEX配合MATCH&OFFSET函數&INDIRECT函數&CHAR函數與&COLUMN與ROW產生萬年曆表格)

上課內容：

01_課程介紹
02_問卷結果與範例檔案下載
03_REPT與LEN與MID函數練習
04_手機範例補零說明
05_利用VBA提高效率與設置環境
06_VBA說明
07_如何留下中英文中的中文(函數)
08_如何判斷首字轉編碼(CODE與MID函數)
09_判斷是否在內碼48到57間
10_數字個數陣列與非數字個數陣列
11_自定函數(數字與非數字&留下數字英文中文)
12_擷取括弧內字串(FIND&MID&IFFERROR函數)
13_擷取括弧內字串(VBA解法)與其他範例
14_重點回顧與SUM函數
15_成績計算SUMPRODUCT函數與自訂函數
16_自訂函數相關與研習時數SUMIF函數
17_研習時數SUMIF函數與保護與破解工作表保護與公式隱藏
18_COUNT相關函數練習
19_COUNTIF函數算樂透彩中獎機率統計
20_黑名單篩選(名稱定義&COUNTIF&篩選)
21_自動帶出其他欄位資料(名稱&資料驗證)
22_用VLOOKUP查詢與ROW函數參照
23_用INDEX配合MATCH函數查詢
24_用OFFSET函數查詢與補充INDIRECT函數
25_INDIRECT函數與CHAR函數與名稱定義函數
26利用名稱定義抓取資料
27_用COLUMN與ROW產生萬年曆表格
28_取得月份第一天位置與共幾天訊息
29_用IF與OR邏輯判斷不顯示的資料

完整影音
https://www.youtube.com/playlist?list=PLgzs-Q3byiYMCKpg9q67XtRfn-1cz9PeM

教學論壇(之後課程會放論壇上課學員請自行加入)：
https://groups.google.com/forum/#!forum/scu_excel_vba_89

懶人包：
EXCEL函數與VBA http://terry28853669.pixnet.net/blog/category/list/1384521
EXCEL VBA自動化教學 http://terry28853669.pixnet.net/blog/category/list/1384524

課程綱要
講師簡介
參考書目
課程簡介
五大類函數與自訂函數
一、文字和資料函數
二、邏輯函數
三、日期和時間函數
四、數學和三角函數
五、檢視和參照函數
其他綜合範例

課程理念：
1.以循序漸進的方式, 透過詳細的說明和實用的50個Excel VBA範例,
帶領您輕鬆進入 Excel VBA 設計的領域, 並逐步了解整個 VBA 的架構與輪廓,
進而學習 VBA 變數、常數、函式及邏輯的觀念, 即使沒有任何程式設計基礎,
也能自己親手撰寫 VBA 程序來提昇工作效率, 晉身職場 Excel 高手！

2.進而解說EXCEL與資料庫的結合，甚至將EXCEL當成資料庫來使用，
結合函數、VBA等更深入的功能，讓資料處理和分析的應用更上層樓。

3.將結合GOOGLE雲端試算表，教您如何將EXCEL函數雲端化與網路化。

上課用書：
Excel VBA一點都不難：一鍵搞定所有報表
作者： Excel Home
出版社：博碩
出版日期：2013/06/26
定價：380元

超圖解 Excel VBA 基礎講座
作者： 亮亨/譯 出版社：旗標
出版日期：2006/05/15 定價：420元
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EXCEL VBA上一期是EXCEL函數與VBA入門，這一期則以EXCEL VBA進階程式設計為主，
剛好進來雲端技術發酵，就順便帶入大家都有興趣的雲端試算表，
所以第一次上課就要求大家一定要有GOOGLE帳號，
電腦也一定安裝GOOGLE瀏覽器，這樣才能上雲端去使用GOOGLE的試算表，
可以比較和EXCEL2003的差異，如果可以輕易使用GOOGLE的試算表，
這樣就可以再沒有EXCEL2003的環境也能作業。

此外，這學期教是剛換 OFFICE 2007，剛好可以順勢學習 EXCEL2007 新介面，
所以未來的學習環境除了雲端外，就是EXCEL2007 了!
對大家來說有很多挑戰要面對，但如果學會這些技術，工作上一定非常有幫助的。
尤其是雲端方面的技術，目前懂的人還真不多，用的人也少，
但這樣好用的技術為什麼沒人推廣？
可能也是大家都還不會使用吧!之所以自己用的熟，
主要用GOOGLE的服務至少5年以上，看著GOOGLE的壯大，發現只要跟著GOOGLE就沒錯!
不斷使用他的免費服務，感覺穩定又好用，重要的事完全免費。

吳老師 105/4/15

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Title:
被莊家永遠隱藏的機率原來很易計？
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Subtitle:
一張凳、一本簿、一枝筆，便可以簡單運算？
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Script:
要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利，你要靠EV；而EV的計算，則涉及賠率（Odds）和機率（Probability）。一般賭局，賭率無論是固定，抑或不固定，都必定會顯示（例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等）；然而，勝負機率卻永遠隱藏。

計算機率可以非常複雜，看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的，相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單，有些連小學作業都有教。

為什麼又可以簡單？又可以複雜呢？這要由「機率是什麼」說起。

首先，機率就像重量、長度、價錢等，是一個量度值。當你想知道自己的體重，你會站在電子磅；當你想知道自己的身高，你會用尺量度；當你想知過大海船票幾貴，你會查一查價錢；而當你想知道一件事情發生的可能性，你便要計算機率。

那麼，有什麼事你會想知它的可能性呢？擲一粒骰「擲到七點」的可能性，你會想計算嗎？不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼，擲骰擲到整數的可能性，你又會想計算嗎？不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見，當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時，你不會問可能性。換言之，當你不肯定某事情是YES還是NO時，你才會想窺探可能性。

最家傳戶曉的例子，非擲毫莫屬：究竟下一回是公定字呢？

雖然機率是數學之中的一個範疇，但機率在語言之中也佔了一席位，縱使未曾學過機率，都會以「五十五十」來描述擲毫的結果，即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十（50%）。
 
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通，因為一整份是100%，各分一半自然是各佔50%，亦是兩份之中取一份，二份之一也。

分數概念對機率非常便利，將虛無飄渺的機率圖像化，轉化成「切蛋糕」的情況－－由於你深信擲公和字的可能性均等，公和字就像一對雙胞胎，要吃相同份量的蛋糕，身為父母你便得把蛋糕一分為二，一份給公，一份給字，二份之一也。

此平平無奇的「二份之一」概念，更足以延伸至更多情況：

擲一粒骰子，擲得一點的機率是多少？

由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同，它們就像六胞胎平分生日蛋糕，你把蛋糕一分為六，一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率，六份之一是也。

只要看得穿多少胞胎在分蛋糕，便能運算出機率。

雖然擲毫的機率十分顯淺，顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣，然而，由擲毫和擲骰引起的誤解，同時惹來不少人放棄了機率，甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是：

「擲公字的機率是二份之一，那麼，要是第一局己擲到了一次公，下一局將必定擲到字嗎？」

當然不是！否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎？這是天方夜譚吧。再者，若「必定」梅花間竹地出現，機率該是100%，這一點也抵觸了「二份之一」的說法。

「既然二份之一的機率，並不代表能夠預測下一局，對賭客來說又有什麼意思？」

答案很簡單，就是用來計算EV，預知定然的長遠結果。
 
明白了機率的意思和功用之後，接下來正式講解機率的3大運算方法：

1. 窮舉法（Exhaustive Method）：一次隨機事件

先前提過，基本的機率運算，是平均分蛋糕的遊戲。由此可見，「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好，這種「有幾」的問題，都只是嬰孩學「數手指」（即數數目）可以應付的問題。

由擲公字的例子起步，全部的情況有「公」和「字」，我們就這樣數：

「公……第一個；字……第二個。總共兩個。」

即問題涉及雙胞胎，將蛋糕分成兩份。

如想知擲得「公」的機率，我們又再數過：

「公……第一個。總共一個。」

可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份，二份之一也。

擲骰子亦同樣，這樣數全部的情況：

「一點……第一個；兩點……第兩個；三點……第三個；四點……第四個；五點……第五個；六點……第六個。總共六個。」

即問題涉及六胞胎，將蛋糕分成六份。

如想知擲得「雙數」（即2、4、6）的機率，我們又再數過：

「兩點……第一個；四點……第二個；六點……第三個。總共三個。」

可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份，六份之三也。
 
兩題的答案，分別是「二份之一」（ ）和「六份之三」（ ），究竟誰大誰小呢？欲比較分數，可以先將它化簡，繼續直接觀察，或者相減或相除。然而，分數的觸覺並非人皆有之，曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此，我建議採取較「平易近人」的百份率（%），換算方法是－－將分子除以分母，再乘以100，便是百份之多少，即多少%了。

機率(%)=分子÷分母×100

以上述的結果為例，先把1除2，再乘以100，得出50，即擲得公的機率為 50%；把3除以6，再乘以100，得出50，即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色，「一樣那麼可能」。

由這兩個例子得知：只要能夠準確細數可能發生的情況（我稱之為懂得數手指）便能夠計算基本的機率了。

當然，懂得數手指並不等如一定數得清，當數量太多的時候，例如打麻雀（144隻牌）一起手便食糊（又稱食天糊）的機率，逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人，的確能夠把所有可能性徹底列出，但整個過程也拖太久了吧？

因此，數數目亦應該要有聰明的方法。
 
2. 列表法（Tabulation）：兩次隨機事件

以擲骰子為例，擲一粒骰當然能夠「數手指」，因為只得6面。可是，如果擲兩粒骰呢？總有多少個可能的結果？

「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個；第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性，最終便會得知，總共有36個可能發生的結果。

列出來當然可以，但無可否認實在太煩了，而煩，亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢？
 
日常生活中，有一種表達方法，很值得參考，就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹，因此會是兩個馬匹號碼互相配搭，例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」，情形就像2粒骰的點數，「一點」加「六點」。

由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下：

每一格分別代表一個情況，例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點，綠色的骰子三點」。 由此可見，擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之，將蛋糕切成36份。

如問擲得總點數為10的機率，使用「馬經作圖法」答案一目了然：

非常明顯，共有3個格子，是兩骰點數相加為十（分別是(4,6)、(5,5)和(6,4)）因此這三十六胞胎，現在有三胞胎說要吃蛋糕了，在「36份之」中吃了「3」份，答案是「36份之3」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）

值得留意的是，這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方：

試想想，現有6張卡，分別畫了骰子的6面，現在你隨機抽取兩張，請問2張卡的點數相加為十的機率是多少？

很多人會照舊作答「36份之3」，原因是問題只是將骰子變成卡片，情況不甚改變，而且，使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表：

可惜這是錯的，答案錯，列表也是錯的，錯在算少了一著：擲骰子可以擲到相同數字，例如2粒骰都是一點，但抽卡並不能抽到相同數字呢！卡片只得1張，你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此，列表應修正如下：

灰色代表根本不可能發生的情況，即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表，蛋糕應平分為30份，而不是36份。符合相加為十的結果，亦不是3個，而是2個，因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此，修正後的答案為「30份之2」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）
 
3. 樹狀圖（Tree Diagram）：兩次或以上隨機事件

雖然列表可以將可能性整齊地列出來，但列表也有它的局限之處，就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件，則要靠樹狀圖了。

以擲毫為例，如連擲三枚硬幣，擲得至少一次公的話，你便可以獲得8000元，這個遊戲值得花5000元去玩嗎？

首先，你得知道勝出這賭局的機率，即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件，因此無法使用列表法，非用樹狀圖不可：

樹狀圖就像旅行路線圖，每一條路都是一個行程，每一個行程就是每一個可能性，不妨逐個寫出來看看：

由圖所示，這年遊戲總共有8個結局，而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金，由此使用「分蛋糕」概念，你勝出遊戲的機率是8份之7，換算成百分率，即87.5%。

賠率則這樣計算：以5000元當作1注，如得勝則淨贏3000元，即贏3000÷5000注，又即0.6注。因此，你若參與這個賭局，你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%，是一個正數。長賭下去，你將會獲取40%的純利，當然值得參與賭局。
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Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學
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精選系列節錄:
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