#陰陽師
親愛的陰陽師大人：
感謝這幾天來對我們的鞭策，首先，代理商與原廠開發團隊要對此次事件的處理態度，致上最深的歉意。
在12/27早上收到回報，疑似可能無法抽出SR式神弈和SR式神追月神的情況時，我們便立即做了抽卡系統和卡池的檢查，以及後台數據的檢查，確認了以下事項：
一、此兩式神的確在卡池內，且在開服後的半小時內，確認有數名陰陽師大人抽到。
二、抽出機率短時間看起來雖然偏低，但隨著時間拉長、抽出數量變多後，整體的抽出機率逐漸地符合整體期望值。
根據以上兩點，我們在透過了更新公告簡單提及(但這一行為，造成了部分大人的困擾與不快，我們再次對此致歉)後，便沒有再透過任何官方管道對此狀況進行其他回應。
然而，這種處理方式，導致各位大人未能得到合理滿意的解釋，並認為代理商與原廠開發團隊就此事件故意避而不談，這是我們對各位大人造成的信任傷害。犯下這個嚴重的錯誤，我們責無旁貸，並在此鄭重的對所有大人致上最深的歉意：不論是這段時間對我們默默表達失望的大人、或是透過各種管道呼籲我們出面解釋的大人、或是因此事件而受到其他影響的大人，如此的信任傷害，我們難辭其咎。
我們並不期望各位大人能因此而馬上息怒，但請各位大人給予時間，讓我們彌補信任傷害。經過此次事件，我們會更加的謹慎，在處理任何類似的事件時，務必能隨時同步處理進度，並第一時間與各位大人說明狀況，不再讓各位大人以為官方故意閃避問題，也希望各位大人能繼續給予我們鞭策。
我們將在接下來時間，2018/1/4~2018/1/18，每天給予全服玩家：神秘的符咒*2、金幣*100,000，總計30張神秘的符咒及150萬金幣的致歉禮，希望如此能夠彌補這段時間對各位大人造成的負面能量和情緒，也再次敬祝各位大人，2018新的一年萬事順心。
我們也明白不論如何的致歉，都不可能讓所有大人都滿意，因此若有在12/27當天進行式神召喚並對此次說明仍無法接受的大人，您可以透過客服燈籠提單，或撥打客服專線(02)2706-7199（服務時間每日14:00-22:00），我們將會協助前來的大人單獨回收抽到的式神返還對應數量神祕的符咒，希望儘可能地讓各位大人滿意。
《陰陽師Onmyoji》寮辦全體同仁 敬上
期望值抽卡 在 [閒聊] 抽數期望值計算機- 看板FATE_GO - 批踢踢實業坊 的八卦
2022/12/10 11:32 更新：已排除了溢位問題，抽數設定無限大應該都可以正常運行
----------------------寫在前面----------------------
1. 本文含有大量數學算式，範圍涵蓋條件機率、二項式定理等數學觀念。
若對數學有強烈過敏或排斥反應，建議直接END看結論或是左轉離開。
2. 本文不含任何統計學觀念，完全只有機率。
3. 本文不考慮任何因抽卡玄學帶來的機率變動影響，也一概不討論玄學對機率之影響。
4. 文末提供之工作表在使用上很簡單，完全不知道這篇在講什麼也可以快樂(?)使用。
5. 本文忽略保底影響。
6. 本文為了計算方便，會將抽卡行為理想化，請自行斟酌下修實際機率。
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大家好，無聊的數學家又來荼毒......分享一些有趣東西給大家了
這件事情本來是一個單純想法
「單抽中PU五星的機率是0.008，那是否1000抽就可期望抽中8隻PU五星？」
「實際上，1000抽中8隻以上PU五星的機率有多少？」
對於一個無課/福袋課玩家而言，石頭是有限的。
一年從營運收到的免費石，可能是幾百~一千多抽的程度。
那麼無課玩家就會想知道：
1. 假如我在一年內想抽到X個五星，用現有的抽數，是否太樂觀了？
2. 我總共有Y抽，在目前的卡池抽到我想要的角色的機率有多少？
3. 一年過去了，我抽到了Z個五星，算是哪一個大洲的人？
以下問題將會一一解答，並提供計算機，大家可以自己算。
(不想看數學的可以END了)
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一切問題從簡單的範例開始。
假如我們用一個紅白球箱子來模擬卡池。
箱子內有4個紅球，1個白球。
抽中紅球算中獎(真容易中獎)，抽完球放回箱中。
那麼抽中紅球機率=4/5=0.8，抽中白球機率=1/5=0.2。
假如只抽1次，抽中紅球機率自然就是0.8。
抽2次的話就開始有趣了，根據結果，會有四種情形：
P(紅紅) = 0.8*0.8 = 0.64
P(紅白) = 0.8*0.2 = 0.16
P(白紅) = 0.2*0.8 = 0.16
P(白白) = 0.2*0.2 = 0.04
當然 0.64 + 0.16 + 0.16 + 0.04 = 1。
抽中兩紅的機率，是P(紅紅) = 0.64。
抽中兩白的機率，是P(白白) = 0.04。
一紅一白的機率，是P(紅白)+P(白紅)=0.16+0.16=0.32。
由於抽中順序不影響其最終機率，所以通常會合併看待。
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讓我們用另一種觀點來看待此事。
下面是一個簡單的算式：
(0.8+0.2)^2
我們當然知道這個答案是1，因為0.8+0.2=1，
且1不管自乘幾次，答案都是1。
但是我們假如直接展開算式，就可以發現與上面的紅白球機率對應：
(0.8+0.2)^2
= 0.8*0.8 + 0.8*0.2 + 0.2*0.8 + 0.2*0.2 = 1。
而(0.8+0.2)^3的機率，也正好與抽樣三次的情況對應：
(0.8+0.2)^3
= 0.8*0.8*0.8 + 0.8*0.8*0.2 + 0.8*0.2*0.8 + 0.8*0.2*0.2
+ 0.2*0.8*0.8 + 0.2*0.8*0.2 + 0.2*0.2*0.8 + 0.2*0.2*0.2
= P(紅紅紅) + P(紅紅白) + P(紅白紅) + P(紅白白)
+ P(白紅紅) + P(白紅白) + P(白白紅) + P(白白白)
= 1。
於此可以類推，抽1000次的機率分布可以由
(0.8+0.2)^1000
展開得出。
可是單純展開仍然無法減少我們的工作，
所以到了本文另一主角：二項式定理出場。
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二項式定理
(x+y)^n 可以展開為 C(n,k)*x^k*y^(n-k) 的級數和。
礙於數學公式不好在批踢踢上打出來，直接引用wiki截圖：
Ref: Wiki二項式定理條目
https://reurl.cc/10keeG
簡單用上面的例子類推
(0.8+0.2)^3
= C(3,0)*(0.8)^3*(0.2)^0
+ C(3,1)*(0.8)^2*(0.2)^1
+ C(3,2)*(0.8)^1*(0.2)^2
+ C(3,3)*(0.8)^0*(0.2)^3
= 1*(0.8)^3
+ 3*(0.8)^2*(0.2)
+ 3*(0.8)*(0.2)^2
+ 1*(0.2)^3
= 1*P(三紅) + 3*P(兩紅) + 3*P(一紅) + 1*P(無紅)
= 1。
那麼我們把中獎機率換成代數，當抽1000次時，就會變成
(不中+中)^1000
= C(1000,0)*P(不中) +
C(1000,1)*P(中一個) +
C(1000,2)*P(中兩個) +
C(1000,3)*P(中三個) +
... +
C(1000,1000)*P(全中)
至此，準備工作完成。
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回到原本問題
1000抽中8隻以上PU五星的機率有多少？
此機率可以看成
P(1000抽中8隻以上PU五星)
= 1 - P(1000抽中0~7隻PU五星)
= 1 - [ C(1000,0)*P(不中) +
C(1000,1)*P(中一個) +
C(1000,2)*P(中兩個) +
... +
C(1000,7)*P(中七個)]
至於 C(1000,N)*P(中N個) 怎麼算？
假如1000抽中1個，表示另外999次都不中
機率就是 C(1000,1)*(抽中)^1*(不中)^999
中二就是 C(1000,2)*(抽中)^2*(不中)^998
中三就是 C(1000,3)*(抽中)^3*(不中)^997
...
以此類推。
完整算式列一下
P(1000抽中8隻以上PU五星)
= 1 - P(1000抽中0~7隻PU五星)
= 1 - [ C(1000,0)*P(不中) +
C(1000,1)*P(中一個) +
C(1000,2)*P(中兩個) +
C(1000,3)*P(中三個) +
C(1000,4)*P(中四個) +
C(1000,5)*P(中五個) +
C(1000,6)*P(中六個) +
C(1000,7)*P(中七個)]
= 1 - [ C(1000,0)*(抽中)^0*(不中)^1000 +
C(1000,1)*(抽中)^1*(不中)^999 +
C(1000,2)*(抽中)^2*(不中)^998 +
C(1000,3)*(抽中)^3*(不中)^997 +
C(1000,4)*(抽中)^4*(不中)^996 +
C(1000,5)*(抽中)^5*(不中)^995 +
C(1000,6)*(抽中)^6*(不中)^994 +
C(1000,7)*(抽中)^7*(不中)^993]
再把實際機率: 抽中=0.008，不中=0.992 代入算式中
大功告成了，算式裡面已經沒有任何未知數了。
於是我們可以把以上過程編進Google工作表中，
然後填上中獎機率與抽數，得出想要的結果。
---------------END請回到這裡看結論---------------
於是乎，經由工作表的努力，得出的結果如下圖
查表可以得知 P(1000抽中8隻以上PU五星) = 54.76%。
也就是說如果你的運氣是排名前54.76%的玩家，
你在任何卡池加總丟1000抽，可以得到8隻以上的PU五星。
(一半以上的玩家可以期待，1000抽中8隻以上PU五星呢)
如果連抽歪五星也想計入呢？把中獎率從0.008調成0.01即可。
另外這個表格也可以計算單個卡池的期望值
假如你想抽奧伯龍池，準備了200抽，
想知道這樣抽中寶1~5的機率有多少
把機率設為0.008，抽數設為200即可。
工作表如下，請自行另存副本/下載取用。
https://reurl.cc/7jbRk9
另外我的公式有寫活，如果覺得中10隻太少想計算更多隻，
選取最後一行往右拖拉即可。
----------------------寫在最後----------------------
1. 此表格有理想化的地方，
在於一年內玩家能領的石頭不是一開始就能領到，而是依時間增加的。
所以途中抽到一半沒石頭的情況，本表無法顧及。
但是判斷單個卡池的期望值不受此影響，可以放心使用。
2. 此表格可套用於其他遊戲卡池，如果該卡池的機率公正的話。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.216.235.245 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/FATE_GO/M.1670523358.A.9D1.html
在討論機率的時候，我們是不討論抽樣方式的
因為不同的抽樣方式會導致不同的機率結果
擅自想像賭場的出貨規則，也是許多賭徒賠得血本無歸的主要原因
沒有人會在絕望的情況下還加注，大輸特輸
賭徒會大輸特輸的原因，往往是因為他自以為掌握了賭場的潛規則
福本伸行的＜賭博墮天錄＞有很傳神的描述，推薦大家看看
(就是那個給開司一瓶啤酒的漫畫續篇啦，不清楚有沒有真人版)
所以上面那個說法除非拿拆包程式碼證據出來，不然我就當在雲了
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而且這個說法如果為真，那就恐怖了
因為這邏輯等價於抽後不放回的機率模型
每一抽的機率都在跳動，絕對不是表定的0.8%
(基本上如果有程式這樣寫，可以試著告告看遊戲公司XD)
然後取後不放回的卡池程式碼寫起來，比取後放回還麻煩
取後放回其實就直接套個多層亂數就好了，一條式子解決
取後不放回要構建一個鴿籠卡池，還要一段時間洗掉重建一個鴿籠卡池
大量的資料更迭也會造成系統多餘負擔，真的有工程師這樣寫，我倒想看看
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另外一點是，就算此說法屬實，玩家也沒有較佳策略
因為營運仍然有許多方式可以解決此問題
首先你要保證，卡池的時間區段，是很現實可以操作的大小
如果時間區段1毫秒，那時間內玩家抽卡次數太少，
就算卡池是鴿籠，帶來的機率波動也小
1000個裡面有8個中獎但只有一個人抽，正好跟機率一樣
如果時間區段1個月，那所有人都在同一區段內抽卡
營運如果做個巨大鴿籠，比如1000億裡面有8億中獎
那就算1個月過去了有10萬個人中獎，對鴿籠的機率影響也是微乎其微
(8億-10萬)/(1000億-10萬) ~ 0.8% 一樣沒問題
所以假如營運調低換池時間週期，或是調高池的總量
都可以解決問題
用二十一點的說法，第一種就是玩一把就換一副牌，第二種就是用一百副牌的卡堆
都能有效的遏止玩家算牌，＜決戰二十一點＞也是老電影了啊
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最後用個小小機率問題，說明何謂抽樣方法影響機率，來做個結論吧
這是一題經典題：
在一個圓內任意選一條弦，
這條弦的弦長，大於這個圓的內接等邊三角形的邊長的機率是多少？
這個問題根據不同的取樣方法，至少有三種以上的答案：
1. 在圓周上隨機選兩點，此兩點連成弦，機率是1/3。
2. 在圓內畫一條直徑，在直徑上選一個點畫垂直於直徑的線為弦，機率是1/2。
3. 在圓內選一點，畫出此點與圓心連線的垂直線為弦，機率是1/4。
這是著名的＜伯特蘭悖論＞，可以參見Wiki:
https://reurl.cc/6Lb4y6
如果看過葛登能(Martin Gardner)的著作，就會知道好玩的數學其實也是很多的
... <看更多>