【處處極限不存在的函數】
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我記得自己剛升大一在學習微積分的時候，教授問了一個問題，「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」，那時候我想了很久，總是想不出來到底要怎麼設計，才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是，如果要在任意點的極限都不存在的話，那可能要先解決一個問題，那就是在設計了一個在某一點，例如說 a 點，極限不存在的函數以後，要如何改造這個函數，才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
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（接下來的內容，建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來）
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舉例來說，如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數（例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0；而當 x 大於 0 時其函數值均為 1），那麼要如何改造或調整這個函數，才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢？針對這個例子而言，或許可以這樣做：先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在，但因為 1 並非 0「旁邊」的數字，所以顯然還要再調整，於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在，但同樣地，因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字，所以我們繼續調整這個函數，下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5，依此類推，再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5，持續這樣的步驟，最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在，但是原本在調整時的兩點極限不存在，卻因無限持續這樣的步驟，而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
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之所以會產生這樣的狀況，是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此，那如果不要持續上面的步驟無限次呢？如果僅持續有限次的步驟，那麼在該次步驟的下一次，一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些，這個推論的結果就是，如果僅持續有限次上述的步驟，那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果，無論是有限次或無限次操作上述的步驟，最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪，因為這意味著從一個點的極限不存在出發，去逐步改造出一個處處極限不存在的函數，方向很可能是錯誤的。
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那麼，該怎麼辦呢？
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面對這個問題，當時的我最終並沒有自己解出來，而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來，並告訴我他的想法。
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他告訴我，既然從一個點的極限不存在開始是行不通的，那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧！例如一開始的函數乾脆設定成這樣：當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時，將其函數值設定為 0，而其他地方則設定為 1。例如，當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時，其函數值就是 0，而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時，其函數值就是 1。如此一來，我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
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以此為起點，比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點，似乎好像有了長遠的進步，但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點，那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
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為了解決這個問題，我的朋友告訴我，下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話，大概是這樣操作：例如，在 0 和 1 之間，函數值原本都是 0，但接下來把這個區間切割成 10 等分，然後第 1、3、5、7、9 個區間（也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間），我們把函數值調整成 1，其餘的不動，那麼我們就可以得到一個，除了在所有整數點極限都不存在的函數以外，這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間，則在等分割成 10 個區間以後，將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話，那麼在每一個整數區間（就是 n 到 n + 1 的區間）裡面，其十分位數的位置其極限都不存在。
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接下來，再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間，然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0，而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間，但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1，那麼，這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外，但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
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再接下來，繼續進行上面的動作，不斷地十等分分割之前產生的區間，並且適當地調整其函數值，使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ，或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態，持續無限次，最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
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要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版，這邊我們先講簡單版，以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言，固定任何一點 a，其左極限只有兩種可能，0 或 1，但因為這個函數被分割地非常地密，而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動，所以這個函數在 a 點的左極限不存在，因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後，因為 a 這個點是任意取的，所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
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這個答案真的很猛，因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
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雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因，也因為我們還沒學到極限的嚴格定義，所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在，但現在回想起來，那位奧數朋友還是很猛！因為他就好像那種天生的小說家一樣，信手拈來就寫出了一本傑出的小說，而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
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講到這裡，今天的故事似乎已經講完，但其實還沒，因為這樣聰明的人，並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
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關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題，其實在 19 世紀時，就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家，他所創造出來的一種函數（後來稱為 Dirichlet 函數），就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下：當 x 為有理數時，其函數值是 1；當 x 不為有理數時，其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在，也是我教授當時給同學們預設的答案。
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在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了，但我有拍一部影片來說明，如果你想繼續看下去，可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片，我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
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雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在，但其實當初 Dirichlet 所面對的問題，並非「是否存在處處極限不存在的函數」，而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後，Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數，而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且，除了無法圖像化以外，Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位，因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期，那麼就會存在最小週期，但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數，因為任意有理數都是它的週期。
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關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊，或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章，不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的，所以如果真的要寫的話，那可能就還要再等一陣子了。
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最後，跟大家介紹一下我上面所提到的影片，那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材，近期我會開始陸續上傳到這裡，但不是每一部影片都會寫文章來搭配，所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看，而且不漏掉系列裡每一部影片的話，可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道；如果你想一次看完我全系列的影片的話，可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道，上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用，如果你想要取得該電子檔的話，請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章，並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論，然後私訊我的臉書粉專，我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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感謝你的觀看，希望這篇文章對你有所幫助，有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外，本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD，若你也有上面提到的那些帳號，歡迎按讚、分享和關注！
左極限 定義 在 Re: [微分] 一題極限- 看板trans_math - 批踢踢實業坊 的八卦
首先
＿
請你考慮 lim √x
x→0
按照你的說法 是不存在
可是它是零喔
你可以用軟體跑一下
※ 引述《keith291 (keith)》之銘言：
: ※ 引述《PaulErdos (My brain is open)》之銘言：
: : 不對
: : 它的定義域是 (0.∞)
: : 所以根本就只有右極限可言
: : 沒有什麼左極限存不存在的問題
: : 左極限? 你要怎麼左?
: : 請回歸定義
: : for any ε＞0
: : there exists δ＞0
: : such that
: : │f(x)－L│＜ ε whenever │x－0│＜δ
: : 什麼是│x－0│＜δ ?
: : 那就是x落在 (0,δ)這個區間內
: 錯了
: whenever │x－0│＜δ
: 即-δ < x＜δ 的 "所有x" 都要滿足│f(x)－L│＜ ε (附帶一提 應該是
: 0 <│x－0│＜δ因為x=0那點我們並不關心 故所有x不用包含x=0)
= =
那個函數的定義域就沒有負的
你到底為什麼要指派 (-δ,0)這部份給它
在它的定義域 (0,k) 裡面
滿足 0＜│x－0│＜δ δ小於k 的時候
當然就是(0,δ)這區間
你怎麼會寫(-δ,δ) ....
-δ是哪裡蹦出來的? 定義域裡根本沒有呀
這有很難懂嗎?
這時候 0＜│x－0│＜δ 和 0＜ x－0 ＜δ 是不是完全相同?
-δ < x＜δ 的 "所有x" 是不是就等同於 0 < x＜δ 的 "所有x" ?
還是你能給我反例 指出某個點符合左邊不等式但不符合右邊不等式嗎?
: : 而非x落在(-δ,δ) , 再讓你分成 (-δ,0)和(0,δ)分開看
: : 因為x沒機會落在0的左邊
: : 這並非左極限不存在
: : x從來就左不了
: 極限的精確定義:
: Let f be a function define on some open interval that contain
: the number t,except possibly at t itself.Then we say that the limit of f(x)
: as x approaches t is L and we write lim f(x) = L
: x→t
: if for every numberε＞0,there is a number δ＞0
: such that │f(x)－L│＜ ε whenever 0 <│x－t│＜δ
: 這函數定義域是(0,∞)根本不滿足 contain "0" 這個數的條件
本來就不需要了
我前面確實漏打了 應該寫 0＜│x－0│＜δ 你也幫我糾正了
這裡也寫 except possibly at t itself
你怎麼又把它當條件了 ?
: 然後
: 此函數滿足右極限存在條件:
: lim f(x) = L
: x→t+
: if for every numberε＞0,there is a number δ＞0
: such that │f(x)－L│＜ ε whenever t < x < t+δ
: 所以此題的確只存在右極限
: 不存在我們一般指的極限
: 因為我們一般常用的極限全名其實是"雙邊極限"(two-sided limit)
: 他的左極限根本不存在了 何來存在雙邊極限?
我怎麼覺得你這一段不是在支持自己= =
看清楚一點 這一段哪裡使此例不合ε-δ定義了 ?
指出來給我看
你現在的問題之一在於
你要搞清楚 什麼叫左極限"不存在"
就是我的x從指定點的左邊趨近它 卻極限(值)不存在
可是現在定義域根本不包含指定點的左邊
這樣根本談不上從左邊趨近
那這樣我怎麼可以說是左極限(值)不存在呢 ?
所以 一種情況是可以做左極限 但做出來是極限值不存在
以定義來看的話 就是當 0 < t－x ＜δ 時
不管我如何讓δ繼續變小 │f(x)－L│都沒有辦法小於ε
這叫做極限(值) 不存在
另一種是根本沒有左極限可言, 這跟極限值不存在是不一樣的
當 0 <│x－t│＜δ 時 其實就是 0 < x－t ＜δ
因為 x－t 根本沒有機會小於零呀
所以你用 0 < x－t ＜δ 做 符合定義 發現它右極限存在
這時候就保證 0 <│x－t│＜δ 時也符合定義了
因為此時只要 0 < x－t ＜δ 同時也 0 <│x－t│＜δ
不然你可以指出不合定義的地方
大多情況是定義域包含了t的左右
所以才會把0 <│x－t│＜δ 拆開成 0 < t－x ＜δ 和 0 < x－t ＜δ 分開看
這時候才會說 lim f 存在 iff lim f 和 lim f 存在且相等
x→t x→t- x→t+
因為這時候只要有一邊的極限值不存在或存在但不相等 馬上就不合極限定義了
而在此例中 x完全談不上從左邊趨近
所以 x趨近t 和 x從右邊趨近t 就變成同一回事了
它只有一個方向可以過去呀
簡單地來說 就是你把Collorary當成Definition 用得很開心
卻忘了它的條件 忘了原始定義怎麼講
你將來如果學到高微的話
這其實很基本
就定義來說 x落在 t的 neighborhood 或者說 一個包含t的ball 裡頭時
使得 d(f(x),L)＜ε
但此例t恰好在定義域的boundary上,
所以t的 neighborhood 也就是包含t的 "ball" 是個殘缺不全的ball
甚至你會知道
如果定義域只有一個點
那麼它是連續的
很奇怪吧? 它完全沒有任何方向的極限可言
但它符合ε-δ的定義呀
再給你一個反例
按照你的說法
任何函數f 在區間[a,b]上時
必在端點a,b不連續 所以它只能在開區間(a,b)上連續
因為 在a點"左極限不存在"
(這是你的說法...)
在b點"右極限不存在"
(再強調一次,這是你的說法...)
所以f不可能 "在[a,b]上連續"
但這又是均值定理的條件
所以可以推知
在初微中 均值定理無法成立 因為沒辦法合條件
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.244.49
※ 編輯: PaulErdos 來自: 140.112.244.49 (02/15 06:31)
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