【張旭微積分精選範例：sin(x) 的估計】
各位晚安
今天是星期四
來跟大家分享一個均值定理的應用題：sin(x) 的估計
這個題目相當經典
常常會出現在微積分的小考或是期中考裡面
至於這個題目本身有沒有什麼特別的意義或價值
基本上就像標題講的
就是對 sin(x) 的一個估計
不過其實這些估計即便不需要均值定理也能證得
因此在我看來這兩個小題真的就只是均值定理的練習題而已
一方面練習均值定理
一方面再次確定以前學過的性質是正確的
但以上這都只是我的想法
不知道有沒有人有不同的想法
如果有的話
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謝謝大家
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均值定理題目 在 Re: [微積] 均值定理證明不等式一題- 看板Math 的八卦
※ 引述《pentiumevo (神秘數學組織SIGMA)》之銘言：
: 題目:試利用均值定理證明 當x>0, sqrt(1+x) < 1+ x/2
: 我想不出如何用均值定理證出這結果(此時還不能用遞增遞減判斷)
: 我只能用高中的方法
: 既然兩邊都是正的,那都平方一下比大小,這樣就得到要證的
: 但我還是很想知道如何用均值定理證這題
: 麻煩各位了,謝謝
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令f(x)= 1+(x/2)-√(1+X) => f'(x) = 1/2 - --------- > 0 for all x>0
2√(1+X)
f(0) = 1+0-1 =0
f(x)-f(0) f(x)
由均值定理可知,在區間(0,x)中存在c (0<c<x) 使得 f'(c) = ----------- = ------
x-0 x
=> f(x) = f'(c)x = 正數*正數 > 0
=> 1+(x/2)-√(1+X) > 0
=> 1+(x/2)>√(1+X) for all x>0
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.24.154.103
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