ZAO了一天,隱私的雷快爆了
本文來自科技媒體36氪
……………………………………………………
從爆火刷屏到成為風暴中心,AI換臉App“ZAO”只用了短短一天。
上一個引起如此轟動的現象級App是捏臉軟件Zepeto,但Zepeto起碼還流行了一星期左右才逐漸從朋友圈銷聲匿跡。ZAO還沒來得及享受太久榮光,就猝不及防地陷入隱私之爭。
問題還是出在這張臉上。想要跟上潮流玩換臉遊戲,你必須同意ZAO預設的使用者協議,即“同意或者確保肖像權利人同意授予‘ZAO'及其關聯公司全球範圍內完全免費、不可撤銷、永久、可轉授權和可再許可的權利。” 是的,這基本意味著你一旦上傳自己的換臉視頻之後,就無法再刪除裡面的照片,哪怕刪除應用也不行。
ZAO的走紅其實並不令人意外,它身上聚集了太多爆款特質:內容來自熱門影視作品,讓人想起那些年玩過的“小咖秀”;跟明星換臉,滿足了大家展現自我,順帶借著電影妝發沉溺于自己盛世美顏的需求;與朋友一起表演、與偶像同台,融入社交功能、追星元素,撩撥著大家的興奮感與傳播欲望。
令人意外的是輿論反噬之快,經過互聯網大佬關於中國用戶樂意以隱私換便利言論的洗禮,蘋果、穀歌、亞馬遜相繼承認監聽用戶談話的風波,一直被忽視的互聯網隱私終於被慢慢地重視起來。
▌ZAO爆紅背後
嗅覺敏感的VC們已經停止打聽ZAO背後的團隊到底是哪家,畢竟它與上市公司陌陌之間的關係已經通過各種工商資料展示得明明白白:ZAO所屬的長沙深度融合網路科技有限公司,為海南喵咖網路的全資子公司。而海南喵咖網路的實際控制人則是兩位陌陌聯合創始人,王力、雷小亮。
雖然VC投資團隊無望,創業公司對ZAO的“借鑒”可不會停止。正如Zepeto之後冒出的一堆捏臉軟件,不難猜想,未來的幾個月裡,各大應用商店即將湧進一大批換臉軟件。
ZAO跟陌陌的關係,不止是股權關係那麼簡單。據36氪瞭解,這個項目由陌陌CEO唐岩主導,2019年春節後立項,歸屬於陌陌企業發展部,這個部門主攻開發獨立App,赫茲、meet相冊均為該部門的成果。與之相對的是陌陌創新業務部,主要負責陌陌主App內的創新嘗試。
在移動互聯網紅利消失的大背景下,做App矩陣已經是各家平臺公司的發展共識,字节跳動是將這一戰略踐行得最為成功的一家。陌陌同樣也早就開始了App矩陣的戰略,只是此前發佈的一系列獨立App,包括Doki、哈你、Cue在內都不算成功。直到ZAO出現,才算引爆關注。
一位陌陌內部人士告訴36氪,ZAO的演算法由陌陌深度學習實驗室支持,這個實驗室之前曾負責過PULAPULA"2🐶18汪年全家福“的技術支援。
跟捏個自己的虛擬替身不同,ZAO把“展現理想中的自己”這件事變著法子更往前推進一步。 只需上傳自己的照片,便可將李現、黃曉明、甄嬛、雪姨的臉替換成自己的,還可以與朋友共同出演《武林外傳》《致青春》等影視作品中的名場面。比起卡通替身,ZAO的場面毫無疑問顯得更真實了。
AI換臉技術,不算是新鮮事兒,Pornhub、Reddit的用戶大概早就見識過。2017年12月,用戶“DeepFakes”在Reddit上發佈一個“假視頻”,將成人電影中演員的臉替換成斯嘉麗·詹森、蓋爾·加朵等知名女星的臉,畫面以假亂真。這為AI換臉技術吸引來了一大波流量,“deepfakes”也逐漸成為這一技術的代稱,同名演算法也在GitHub開源。
ZAO的特別之處在於,通過大公司的支持,將這一技術的門檻和體驗大大降低。使用者不需要研究如何渲染如何訓練AI,只需動動手指上傳照片,再花5s-10s等著視頻生成,然後再分享到自己的朋友圈就好。
ZAO的第一個版本在5月29日發佈並進行小範圍內測,8月30日發佈1.1正式版本。這一版本取消了名額限制,對所有人開放,只需手機號就能夠註冊並使用,大大降低准入門檻。第二天,ZAO便從App Store免費應用總榜的第138位強勢沖到了第2位,並迅速搶佔娛樂類app的首位。
▌AI to C,大廠的遊戲
用戶體驗背後,是高昂的技術成本。因為同時段湧進大量的使用者,ZAO的伺服器幾度宕機,但之後很快就修復了。比起伺服器,看不見的成本還有背後的算力。為了讓換臉的過程不超過10s,意味著背後需要投入大量GPU。
有AI從業者告訴36氪,就算是美顏類App,一個高級的手繪濾鏡所需要的成本也是百萬元起步,這其中包括了用大量手繪圖作為訓練素材,據此推算,ZAO的成本應該更高。
在新浪微博上,一位名為“ZAO官方助手”的用戶在8月30日22:54分,即ZAO上線第一天發了一條微博,”這個月花700萬租的伺服器,今晚已經消耗1/3了。明天如果繼續火爆,我們只能做嚴格一些的限制。”
雖然沒有加V認證,在此之前,這位元使用者發的內容都是關於ZAO的內測名額發放。
用AI技術做C端的產品,毫無疑問將是未來大公司的戰略方向之一。也只有大公司,才能夠為了大量C端使用者的體驗負荷起高昂的成本。
只做個C端談資類的App,肯定不是陌陌為此加大投入的原因。目前從ZAO的產品設計來看,可以看出它想讓用戶盡可能多地拉好友來玩,以達成傳播效果。ZAO的社交功能依託於微信和QQ,只能通過微信和QQ發送申請添加好友。成為好友後,你們互相獲得了對方形象的使用權,可以用好友的臉來製作視頻。在聊天介面,使用者可以發送替換成自己面孔的gif表情包,連鬥圖也是私人訂制。
只要能沉澱下社交流量,下一步就是方向的探索。36氪獲悉,ZAO未來的一個潛在方向加上語音辨識功能,目前ZAO使用的是科大訊飛的技術。
ZAO面臨的另一重挑戰是,如何避免爆款APP難以逃避的“月拋”命運。
2018年12月初,Zepeto爆紅。一個月後,2019年1月12日,其中文版“崽崽”在蘋果App Store上線。但此後再無大的水花,不溫不火,在社交類APP的20-30名附近徘徊。
新鮮感過後,Zepeto沒能抓住多少用戶。沒有社交關係鏈,用戶毫無壓力地拋棄了它,等待下一個爆款。
與Zepeto相比,ZAO的社交屬性明顯更強,並且是一款熟人社交軟體:依託於最大的社交軟體微信和QQ,用戶可以順暢地導入社交關係;由於添加好友也意味著共用面孔資訊,在添加好友時,ZAO還會彈出“好友面孔使用協定”:“添加好友後,你可以使用對方的面孔資訊進行換臉娛樂玩法,同時作為對等交換,對方也能使用你的面孔。請跟你真正親近的朋友進行授權。”
更強的社交屬性能否讓ZAO逃脫非剛需類App曇花一現的命運,目前還難下定論。但確定的是,陌陌終於有它的第二個App爆款了。
▌隱私、版權爭議,ZAO的難題
在解決商業模式問題之前,ZAO亟需解決的是公眾對於隱私權的質疑。
在人臉識別被用於電子支付、身份認證的今天,臉甚至變得比金錢、身份證都更為重要。換做五年前,人們也許不會對在網路上上傳自己的照片並且不可刪除如此警惕,但現在,上傳一張正臉照片,而且無濾鏡無PS,任何人都得掂量一下因此導致的風險。
大概是為了後續用UGC素材做更多的開發,ZAO的使用者協議稱得上霸道和嚴苛。同時,為了避免用戶的臉被用在非法用途,ZAO採取的辦法是,不允許使用者上傳自己的視頻,只能在影視片段中截取換臉的素材。因為影視片段脫離了現實生活場景,不法分子用截圖進行欺詐等風險理論上也會隨之降低。 另外,ZAO也承諾,“ZAO及其關聯公司將盡最大努力在合理範圍內使用上述內容,且您的必要授權不代表ZAO及其關聯公司對上述資訊內容的必然使用;也不改變上述資訊內容的所有權及其智慧財產權歸屬,更不影響您對上述內容資訊任何合法使用。”
但互聯網公司——事實上幾乎所有商業機構,對“合理範圍”這一概念的界定總是不可避免地會與用戶的界定產生分歧。在更改使用者使用協定之前,ZAO引發的這場隱私權風波,也許聲勢將不低於產品本身引發的刷屏效應。
“目前,網上各類換臉軟件有很多,但不管換得有多逼真,都是無法突破刷臉支付的。”8月31日中午,螞蟻金服官方回復21世紀經濟報導記者稱。因為“刷臉支付”採用的是3D人臉識別技術,會通過軟硬體結合的方式進行檢測,來判斷採集到的人臉是否是照片、視頻或者軟體類比生成的,能有效地避免各種人臉偽造帶來的身份冒用情況。
不知道螞蟻金服給的這顆技術向定心丸,能否讓惴惴不安的用戶稍微安心。
ZAO要繼續往下走,另一重難度在於對素材的使用。
點進ZAO的素材使用頁,在版權聲明中,ZAO寫道:“短視頻和表情素材,除了特別聲明是ZAO跟合作方進行版權合作的之外,均來自于用戶自發的上傳,ZAO不享有素材的商業版權。”
2018年3月,原國家新聞出版廣電總局下發的《關於進一步規範網路視聽節目傳播秩序的通知》規定:“堅決禁止非法抓取、剪拼改編視聽節目的行為,並嚴格管理包括線民上傳的類似重編節目,不給存在版權問題、內容問題等的剪拼改編視聽節目提供傳播管道。”谷阿莫等一大批影評帳號就曾因此身陷版權糾紛。
與谷阿莫不同,ZAO在版權聲明中指出,平臺並不享有商業版權。36氪分別在上午和下午試用ZAO,還發現包括關曉彤的某個綜藝表演片段在內,已經顯示“此素材已不可用”。
然而,非商用就不涉及版權糾紛嗎?北京商報曾就此谷阿莫版權糾紛採訪中聞律師事務所合夥人趙虎,趙虎稱,是否商用並不是判定侵權的標準,業餘愛好者製作的視頻也可能會侵權。“在原作的基礎上進行二次創作,應該得到原作著作權人的許可,如果未經許可就使用了原作內容,就非常有可能構成侵權。”
ZAO可以對影視片段進行換臉,也可以對表情包進行換臉。而表情包除了著作權外,需要注意的還有肖像權、名譽權。
在“造表情”分區,除了還珠格格、武林外傳外,36氪還發現了網路紅人李雪琴的表情包,而在36氪與李雪琴取得聯繫之後,對方表示,此前並未有人與她溝通過肖像權問題。
“將任何普通自然人肖像製成表情包進行傳播均可能侵犯肖像權。”北京互聯網法院法官朱閣、法官李珂曾撰文表示。但互聯網上資訊浩如煙海,傳播也較為隱蔽,許多時候侵權行為難以發現,侵權主體也難以確認。
“但不維權、維權少並不代表其人格權不受法律保護。此外,真人表情包著作權人行使權利需嚴格依照其與肖像權人的約定,未經肖像權人同意,該表情包不得發表、傳播或銷售。”文章中稱。
在使用者協議中,ZAO似乎也在有意規避這些糾紛:“如果您把使用者內容中的人臉換成您或其他人的臉,您同意或確保肖像權利人授予‘ZAO’及其關聯公司全球範圍內完全免費、不可撤銷、永久、可轉授權和可再許可的權利。包括但不限於:人臉照片、圖片、視頻資料等肖像資料中所含的您或肖像權利人的肖像權,以及利用技術對您或肖像權利人的肖像進行形式改動。”
而Snapchat等可以製作人臉特效的軟體從未對肖像權提出如此嚴苛的要求,只是在隱私條款中提及:“我方的許多服務都要求我方收集您設備相機和照片上的圖像與其他資訊”,“我方收集您在我方服務商創建的內容”。
必須說明的一點是,因為網路上的肖像權、隱私權長期處於模糊地帶,有隱私權和肖像權隱患的App遠遠不止ZAO一家。但就因為ZAO的刷屏,這些問題才在一夜之間像冰山一樣浮現在大家面前。
一想到這些令人頭疼的問題,無論是跟陳冠希勾肩搭背演《無間道》,還是跟張曼玉對手演《青蛇》,似乎快樂都已經沒那麼純粹了。
https://36kr.com/p/5241673
同時也有1部Youtube影片,追蹤數超過2萬的網紅數學老師張旭,也在其Youtube影片中提到,【摘要】 本影片主要推導 Cayley-Hamilton 定理,並講解幾個 Cayley-Hamilton 的應用,後半段講解極小多項式的觀念,並利用極小多項式推測相似矩陣的 Jordan form 【加入會員】 歡迎加入張旭老師頻道會員 付費定閱支持張旭老師,讓張旭老師能夠拍更多的教學影片 ht...
可交換矩陣 在 李傑老師 Facebook 八卦
102指考數學重點!!!
(數乙)
1.多項式:有理根檢定/勘根/虛根成雙/二次函數的極值(應用題)
2.指對數:圖形/不等式/首尾數(注意複率問題)
3.排列組合:同物排列/選排問題/分組分堆/二項式(係數問題)/重複組合(H學測剛考)
4.機率:古典機率(骰子,銅板問題)/條件機率&貝士定理(很重要,多注意檢驗問題)
5.數據分析:標準差(很重要,兩組混合問題,扣除問題)/相關係數(很重要)/迴歸直線/圖形的判讀(很重要,比較標準差或相關係數的大小)/統計資料的伸縮平移(線性變換;很重要)
6.直線與圓:斜率/線性規劃(很重要,應用題或活用題)/圓與直線的位置關係(略看)
7.平面向量:加減法/共線理論/內積/夾角與距離
8.矩陣:乘法與性質(很重要)/馬可夫鏈(交換球,穩定狀態)/反矩陣(很重要)
9.機率(II):期望值(很重要)/信賴區間(很重要,觀念題)
10.三角函數:(略看圖形問題)
11.極限與函數:無窮等比求和(重要)/分式型與根式型的極限/函數的極限(左右極限,0/0的極限)
(數甲)
1.多項式:同數乙(但二次函數的極值略)
2.指對數:同數乙
3.機率(I):古典機率/條件機率(很重要,檢驗問題)/獨立事件(過關問題,很重要)
4.三角:正餘弦/二倍角/三角測量
5.直線與圓:線性規劃(很重要,關念活用題)
6.平面向量:共線理論/內積(重要)/四心(內,外,重,垂,略看)
7.空間向量:坐標系的設定問題/外積與體積(三階行列式,重要)
8.空間中的直線與平面:求平面方程式/距離與夾角(很重要)/幾何意義
9.矩陣:列運算(略看)/乘法(很重要,旋轉矩陣,遞迴問題)/馬可夫鏈(很重要)/反矩陣(很重要)/線性變換(旋轉與鏡射,可參考97,96,94,92例屆試題)
10.機率(II):期望值(重要)/獨立式件與二項式重複試驗(重要)
11.三角函數:圖形/疊合(很重要,最大最小距離,面積)/棣美佛(很重要,極式的乘除與旋轉,n次方根)
12.微積分:極限的求法(很重要,分式,根式,左右極限,0/0)/無窮等比求和(幾何圖形)/切法線的求法(很重要)/圖形的描繪與極值(必考,增減凹凸,反曲,臨界,根的個數,極值的應用)/定積分(必考,面積體積,微積分基本定理)
考生們可依上述重點,找相關的題型練習,必可在最短時間內獲得最大效益,加油嘍!
(這篇po文打了兩個小時,還真有點累XD,歡迎分享以幫助更多的孩子)
可交換矩陣 在 黃土條 Facebook 八卦
看到一篇熱門分享的貼文《一堂物理課,了解貧富差距的根源》,在某個經濟學社團引發激烈的學術(?)討論。合先敘明,我認為這位老師非常認真,很用心將物理學、經濟學和哲學連結起來。
Liou YanTing:一堂物理課,了解貧富差距的根源
https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=3403616276360627&id=100001368650813
不過,將猜拳遊戲與氣體動力論胡亂連結,反而模糊了一些真正能套用的概念。在談論分配正義時,將財富自由分配簡化為貧富不均的對立,然後傾向政府需要介入。這是一種非常危險的「正義」,我不認同這叫做所謂「科學與人文的思辨之旅」。
※本篇附圖是網友提供:「沒有要酸的意思但我真的想到這張圖。」
Part 1
電容放電曲線呈指數衰減,放射線衰退曲線呈指數衰減,跟美國財富分配圖是不是有異曲同工之妙呢?紫外光殺菌的曲線也呈指數衰減,是不是跟猜拳遊戲還有財富分佈一樣呢?
這是典型的物理半調子。物理模型的相似性,來自數學模式的相似性,與物理現象無關。我最常舉的例子是,測不準定理來自波的數學性質,與量子力學無關的訊號波,也會有測不準定理,這些都可以用傅立葉分析推導。量子力學的意義在於賦予測不準定理另外的物理詮釋。
但我發現很多物理系學生誤以為測不準定理一定是量子力學的現象,甚至到研究所階段都不知道電機系做訊號對測不準的理解,搞不好比物理系更深刻。這是一種鄙視鏈和反鄙視鏈。
所以,文中的波茲曼分布,來自統計的數學性質,並不建立在氣體動力論之上。更何況,指數遞減現象在各種科學和工程領域都很常見,這是自然的數學模式。根據奧坎剃刀原則,你扯進氣體動力論,只是騙不懂物理的外行人,跟你一起誤解物理罷了。
只要某一現象符合「衰減速度與值成比例」性質,寫下數學式和解微分方程的結果,就必然出現指數衰減曲線。我認為這是數學程度40分就能理解,物理程度大概要60分,才不會被表象迷惑的性質。
數學系的訓練是提取抽象模式,但一般數學系學生沉迷於符號推演之美,不去思考真實問題。物理系的訓練是建構近似模型,但一般物理系學生時常忘記模型僅是近似,並且把數學模式的必然性誤理解為巧妙的真理。
這個我特別有感,因為我當年同時修數學系和物理系的課,花了很多時間掙扎兩邊做學問方法不相容。物理系學生大三修完量子物理,幾乎不會去思考波動力學為何與矩陣力學等價,對修過微分方程和線性代數的我卻是很自然的事,然而數學系學生卻大多不會碰觸量子力學,無從思考他們所學理論意義何在。
原文作者所犯的其實是物理系常見通病,連許多教授都無法倖免。由於缺乏對物理模型和數學模式的深刻理解,只由結果腦補關聯性,甚至把沒有物理意義的中間演算,硬套憑空想像的詮釋,美其名為物理圖像。我大學時期聽到這類似是而非的所謂「物理解釋」都覺得異常痛苦。
例如上述的指數衰減,如果你問一個成績優秀的物理系學生,他或許會列舉許多指數衰減的物理現象,並讚嘆物理規律的美妙。但能回答下一個問題的學生就少了,為什麼這些現象都呈指數衰減?
這問題其實很簡單,只要回到微分方程去看,它的本質是衰減速度與值成比例,凡是符合此性質,就必然得到指數衰減的數學規律。物理是參透自然的數學語言,對自然的理解,很大一部分取決於語言能力的掌握,即為我所強調的數學模式。
Part 2
對岸的知乎有一個討論串,更深入地探討了分配遊戲的模擬。
房间内有 100 人,每人有 100 块,每分钟随机给另一个人 1 块,最后这个房间内的财富分布怎样? - 知乎
https://www.zhihu.com/question/62250384
我覺得這篇文章沒什麼問題,你注意到他說隨機遊走相當於求解離散空間的熱傳導方程,這是將一個待解問題轉化為一個已知問題,純粹是數學模式的相似性,他沒有將隨機遊走的分布解,建立在熱力學物理之上。
貧富不均為穩定態,均富為非穩定態,其反直覺的思維誤區在於,「平均分布」僅是「穩定分布」的一種少見子集,絕大多數情況的「穩定分布」不是「平均分布」。例如,二項分布、常態分布,都不是人人均等。
說到底,「平均值」僅是平均後的一個值,常態分布以平均值為對稱,不代表區間每個值一定均等。
統計分布的穩定態,取決於機率密度函數的長相。你可以批評這個數據模擬,誤用熱力學模型解釋人類經濟現象,真實世界不存在完全隨機的交換行為等等。但這些批評並不到位。
因為它只是一個經濟行為的玩具模型(toy model),遊戲規則決定機率密度函數,進而決定穩定態的分布,算出來正好是狄利克雷分布。又恰巧與離散空間的熱傳導方程相似,則是後話。
我們也可以用一些物理的解釋。大多數人誤解了,物理的結果是「穩定態」,本來就不一定是「均等態」。在這個實驗之中,什麼條件會出現均等態?或許是每分鐘隨機分配給所有人自已手上所有的財產,能量的交換不加任何限制。
所以反過來想,遊戲規則限制了每分鐘隨機只能給另一個人1塊,當我因為機率的偶然,手上財產從100元掉到80元,我就更往破產的機率傾斜了。反之,我從100元變為120元,但下一回合我仍然只要給別人1塊,我的優勢就隨時間演化變大了。
我個人特別喜歡它後續做的「允許負債」模擬,以及「努力多1%競爭優勢」模擬,令人慶幸沒有出現反直覺的悲劇結果。自由競爭之下努力有意義,相當勵志,不是嗎?
經濟學的解釋,當然不能只是「要求平等均富的社會本身正是反自然的存在」,那僅僅只是「限定遊戲規則之下貧富不均是統計的穩定態」。
至於這個遊戲規則,離真實世界有多遠,當然很遠,但咱們學經濟的講機會成本。你不用這個遊戲規則,用另一個遊戲規則,會不會發生一樣的貧富不均結果?看起來很有可能會,但沒證據我不確定,有一說一才是科學精神。
或許在任何遊戲規則之下,只要不脫離「每分鐘隨機給出的數額有限制」的基本假設,都會跑出貧富不均的分布結果。而這個基本假設,在真實世界中也不可能捨棄,那麼這個數據模擬就有其參考價值。我們可以說,不論任何制度必然會有貧富不均的狀況出現,這才是最正常的現象。
參考閱讀:
巴斯夏的蠟燭工坊:今天臉書有一篇遭到瘋傳的經濟學相關文章,堪稱經濟學程度的照妖鏡
https://www.facebook.com/329896911051695/photos/a.358878471486872/642324269808956/?type=3
(我貢獻了 巴斯夏的蠟燭工坊 這篇文章的某些段落。)
可交換矩陣 在 數學老師張旭 Youtube 的評價
【摘要】
本影片主要推導 Cayley-Hamilton 定理,並講解幾個 Cayley-Hamilton 的應用,後半段講解極小多項式的觀念,並利用極小多項式推測相似矩陣的 Jordan form
【加入會員】
歡迎加入張旭老師頻道會員
付費定閱支持張旭老師,讓張旭老師能夠拍更多的教學影片
https://www.youtube.com/channel/UCxBv4eDVLoj5XlRKM4iWj9g/join
【會員等級說明】
博士等級:75 元 / 月
- 支持我們拍攝更多教學影片
- 可在 YT 影片留言處或聊天室使用專屬貼圖
- 你的 YT 名稱前面會有專屬會員徽章
- 可觀看會員專屬影片 (張旭老師真實人生挑戰、許願池影片)
- 可加入張旭老師 YT 會員專屬 DC 群
碩士等級:300 元 / 月
- 享有博士等級所有福利
- 每個月可問 6 題高中或大學的數學問題 (沒問完可累積)
學士等級:750 元 / 月
- 享有博士等級所有福利
- 每個月可問 15 題高中或大學的數學問題 (沒問完可累積)
- 可許願希望我們拍攝講解的主題 (高中、大學數學)
- 可免費參加張旭老師線上考衝班 (名額不可轉讓)
家長會等級:1600 元 / 月
- 享有博士等級所有福利
- 沒有解題服務,如需要,得另外購入點數換取服務
- 可許願希望我們拍攝講解的主題 (高中、大學數學)
- 可免費參加張旭老師線上考衝班 (名額可轉讓)
- 可參與頻道經營方案討論
- 可免費獲得張旭老師實體產品
- 可以優惠價報名參加張旭老師所舉辦之活動
股東會等級:3200 元 / 月
- 享有家長會等級所有福利
- 一樣沒有解題服務,如需要,得另外購入點數換取服務
- 本頻道要募資時擁有優先入股權
- 可加入張旭老師商業結盟
- 可參加商業結盟餐會
- 繳滿六個月成為終生會員,之後可解除自動匯款
- 終生會員只需要餐會費用即可持續參加餐會
【勘誤】
無,有任何錯誤歡迎留言告知
【習題】
無
【講義】
無
【附註】
本系列影片僅限 YouTube 會員優先觀看
非會員僅開放「單數集」影片
若想看到所有許願池影片
請加入數學老師張旭 YouTube 會員
加入會員連結 👉 https://reurl.cc/Kj3x7m
【張旭的話】
你好,我是張旭老師
這是我為本頻道會員所專門拍攝的許願池影片
如果你喜歡我的教學影片
歡迎訂閱我的頻道🔔,按讚我的影片👍
並幫我分享給更多正在學大學數學的同學們,謝謝
【學習地圖】
EP01:向量微積分重點整理 (https://youtu.be/x9Z23o_Z5sQ)
EP02:泰勒展開式說明與應用 (https://youtu.be/SByv7fMtMTY)
EP03:級數審斂法統整與習題 (https://youtu.be/qXCdZF8CV7o)
EP04:積分技巧統整 (https://youtu.be/Ioxd9eh6ogE)
EP05:極座標統整與應用 (https://youtu.be/ksy3siNDzH0)
EP06:極限嚴格定義題型 + 讀書方法分享 (https://youtu.be/9ItI09GTtNQ)
EP07:常見的一階微分方程題型及解法 (https://youtu.be/I8CJhA6COjk)
EP08:重製中
EP09:反函數定理與隱函數定理 (https://youtu.be/9CPpcIVLz7c)
EP10:多變數求極值與 Lagrange 乘子法 (https://youtu.be/XsOmQOTzdSA)
EP11:Laplace 轉換 (https://youtu.be/GZRWgcY5i6Y)
EP12:Fourier 級數與 Fourier 轉換 (https://youtu.be/85q-2nInw7Y)
EP13:換變數定理與 Jacobian 行列式 (https://youtu.be/7z4ad1I0b7o)
EP14:Cayley-Hamilton 定理 & 極小多項式 👈 目前在這裡
EP15:極限、微分和積分次序交換的條件 (https://youtu.be/QRkGLK7Iw4c)
EP16:機率密度函數 (上) (https://youtu.be/PR1NSAOP_Z0)
EP17:機率密度函數 (下) (https://youtu.be/tDQ3o8uQ_Ks)
持續更新中...
【版權宣告】
本影片版權為張旭 (張舜為) 老師所有
嚴禁用於任何商業用途⛔
如果有學校老師在課堂使用我的影片的話
請透過以下聯絡方式通知我讓我知道,謝謝
【張旭老師其他頻道或社群平台】
FB:https://www.facebook.com/changhsu.math
IG:https://www.instagram.com/changhsu.math
Twitch:https://www.twitch.tv/changhsu_math
Bilibili:https://space.bilibili.com/521685904
【其他贊助管道】
歐付寶:https://payment.opay.tw/Broadcaster/Donate/E1FDE508D6051EA8425A8483ED27DB5F (台灣境內用這個)
綠界:https://p.ecpay.com.tw/B3A1E (台灣境外用這個)
#克萊漢彌爾頓定理 #極小多項式 #喬登型式